广义相对论的理论基础

1广义相对论的理论基础爱因斯坦于1905年提出狭义相对论之后，便试图在狭义相对论的基础上对牛顿的引力理论进行改造。牛顿引力理论虽然在天文学上得到广泛的支持，但是，它不能说明水星近日点的剩余进动，也不能对宇宙大范围的性质给出完满的描述；而且，在理论的基本概念上同狭义相对论也是互相冲突的。爱因斯坦在深入分析引力质量同惯性质量等价这一早已熟知的事实的基础上，提出了引力场同加速度场局域性等效的概念；他又把惯性运动的相对性的概念推广到加速运动；并在前人对牛顿时空观的批判中汲取了精华，提出了时间和空间的性质应当由物质运动决定这一革命性的思想。这些引导他采用黎曼几何来描述具有引力场的时间和空间，写出了正确的引力场方程；进而精确地解释了水星近日点的剩余进动，预言了光线偏折、引力红移、引力辐射等一系列新的效应。他还对宇宙的结构进行了开创性的研究。著名的1919年日全食观测，证实了爱因斯坦关于光线偏折的预言，一度轰动世界。随后，广义相对论便被物理学界普遍接受下来，并且被公认为经典理论物理学中最完美的理论。几十年来，广义相对论又得到新的验证和发展，特别是60年代以来，在天文学中得到了广泛的应用。引力红移、雷达回波等实验进一步证实了这个理论的预言。脉冲星和微波背景辐射的发现，证实了以广义相对论为基础的中子星理论和大爆炸宇宙论的预言。近年来，对于脉冲双星的观测也提供了有关引力波存在的证据。60年代以来，奇性理论和黑洞物理的研究取得很大进展。近来，关于正能定理的猜测得到了证明，有关引力的量子理论以及把引力同其他相互作用统一起来的研究也极为活跃。这些，不仅丰富了对广义相对论理论基础的认识，同时，也揭示了广义相对论本身所不能解决的一些重大的疑难问题，为进一步探索引力相互作用，以及时间、空间和宇宙的奥秘提出了新的课题。广义相对论的理论基础爱因斯坦提出等效原理、广义协变性原理和马赫原理作为广义相对论的基本原理。他采用弯曲时空的黎曼几何来描述引力场，给出引力场中的物理规律，进而提出引力场方程，奠定了广义相对论的理论基础。30年代，爱因斯坦等人又发展了运动理论。60年代以来，R．彭罗塞引入现代微分几何的方法，并和S．W．霍金等人发展了奇性理论。近年来，丘成桐等人又完成对著名的正能猜测的证明。这些都大大丰富了广义相对论的理论基础并提出新的课题。广义相对论的基本原理等效原理是广义相对论最重要的基本原理。这个原理的实验依据是由厄缶实验等精确证明的引力质量和惯性质量的等价性。爱因斯坦认为，这个等价性的重要推论是：在自由下落的升降机里，由于升降机以及其中所有的仪器都以同样的加速度下降，因而无法检验外引力场的效应。换句话说，自由下落升降机的惯性力和引力互相抵消了。爱因斯坦认为，这表明，引力和惯性力实际上是等效的。这就是爱因斯坦原来意义下的等效原理。不过，在真实的引力场和惯性力场之间并不存在严格的相消。比如，真实的引力场会引起潮汐现象，而惯性力场却并不导致这种效应。但是，在自由下落的升降机里，除开引力以外，一切自然定律都保持着在狭义相对论中的形式。事实上，这正是真实引力场的重要本质。如果把自由下落的升降机称为局部惯性系，那么，等效原理就可以比较严格地叙述为：在真实引力场中的每一时空点，都存在着一类局部惯性系，其中除引力以外的自然定律和狭义相对论中的完全相同。爱因斯坦把狭义相对论所考察的作匀速运动的参照系之间的相对性。推广到作任意运动的参照系之间的相对性。为此，他提出物理定律必须在任意坐标系中都具有相同的形式，即它们必须在任意坐标变换下是协变的。这就是广义协变性原理。广义协变性对物理定律的内容并没有什么限制，只是对定律的数学表述提出了要求。爱因斯坦后来也是这样认为的：广义协变性只有通过等效原理才能获得物理内容。爱因斯坦建立广义相对论的另一个重要思想是认为时间和空间的几何不能先验地给定，而应当由物质及其运动所决定。这个思想直接导致用黎曼几何来描述存在引力场的时间和空间，并成为写下引力场方程2的依据。爱因斯坦的这一思想是从物理学家和哲学家马赫对牛顿的绝对空间观念以及牛顿的整个体系的批判中汲取而来的。为了纪念这位奥地利学者，爱因斯坦把他的这一思想称为马赫原理。引力场的几何描述根据上述基本原理，广义相对论用存在局部惯性系的黎曼几何来描述引力场。在这种黎曼几何中，四维时空的线元是时空点的任意函数：gμυ(x)称为在x点时空的度规张量。x0=ct，с是光速，t是时间坐标。x1、x2、x3是空间坐标。重复指标表示求和。如果引入局部惯性系，线元可以表示为：，ημυ就是狭义相对论中的闵可夫斯基度规，θ寶(x)称为局部惯性标架。相邻两时空点的局部惯性系之间的关系，可以由联络来表示。在黎曼几何中，联络完全由度规张量及其偏导数决定，称为克里斯多菲(Christoffel)记号：是逆变度规张量。利用联络可以定义平行移动和协变导数。例如，对于一矢量Vλ的协变导数定义为。如果沿着一曲线，矢量Vλ的协变导数为零，则称在此曲线上不同点的矢量是彼此平行的。如果一条曲线上不同点的切线是平行的，那么该曲线就称为是测地线，满足方程显然，测地线概念是闵可夫斯基时空中四维直线的推广。在这种黎曼几何中，由克里斯多菲记号定义的平行移动保持线元ds2不变。这反映了在不同局部惯性系中，理想时钟的固有时应该相同这样一个物理要求。时空的弯曲程度由黎曼曲率张量表示3它满足比安基恒等式利用黎曼曲率可定义里奇张量Rρv和标量曲率R利用比安基恒等式可以证明其中Λ是任意常数。在黎曼几何中，两条相邻测地线xρ(s)和x寶(s)+ξ寶(s)的偏离程度ξ寶(s)同曲率张量有关这个方程称为测地线偏离方程。引力场中的物质运动根据等效原理和广义协变原理，只要把狭义相对论中的物理规律写成广义协变的形式，就可以得到除引力以外的在引力场中的物理定律。要作到这一点只需要把定律中的普通微分改写为协变微分就可以了。无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程可以这样得到。在狭义相对论中，质量为m的自由粒子或光子，分别沿闵可夫斯基时空中的类时直线或类光直线运动。将这些运动方程写成协变形式，就分别得到黎曼时空中的类时或类光测地线方程，即无自旋粒子或光子在引力场中的运动方程。物质场的方程也可以这样得到。例如将狭义相对论中的克莱因－戈登方程写成广义协变形式，就得到在引力场中的标量场方程。在狭义相对论中，存在一系列的守恒方程。将这些守恒方程中的普通散度改为协变散度，就得到在引力场中相应的守恒方程。例如，这样可以得到能量动量守恒在引力场中的形式为这里Tμυ就是能量动量张量。但是，这种方式不可能得到引力定律本身，也不可能得到同曲率有关的效应。例如，不可能得到测地线偏离方程中同曲率有关的项，也不可能得到在引力场中自旋粒子的自旋同曲率的耦合项等等。与曲率有关的物理效应何时出现，只能作具体的分析。引力场方程爱因斯坦和D．希耳伯特几乎同时在1915年得到了完整的引力场方程4其中G是牛顿引力常数G＝6．670×10-8cm3/(g·s2)。方程左边是描述引力场的时空几何量，右边是作为引力场源的物质能量动量张量。显然，这个方程反映了爱因斯坦的马赫原理的思想。爱因斯坦提出这个场方程的基本思路大致可以这样来概括：考察牛顿引力理论的泊松方程它是引力势的二阶偏微分方程，ρ是引力源的质量密度。在相对论中，ρ应该推广为引力源的能量动量张量，则推广为度规张量gμυ。因此，引力场方程应该是度规的二阶偏微分方程。进而，爱因斯坦发现同满足同样的守恒律。这便导致了他写下具有上述特点的正确的引力场方程。在真空中，这个方程简化为：1917年，受因斯坦在对宇宙进行考察时，引进了宇宙常数Λ项，将方程修改为：不久之后，他本人放弃了这一项。但是近年来，不少物理学家认为Λ项的引进是有必要的。运动理论1927年爱因斯坦等人提出，质点系统的运动方程应该包括在引力场方程之中。1938年，爱因斯坦及其合作者完成了这一理论。他们采用后来称为后牛顿近似的方法，在对质点系能量动量张量的简单假定下，从引力场方程中推导出了质点系的运动方程，这就是著名的广义相对论的运动理论。50年代以来，一些物理学家指出，质点运动方程也可以直接从能量动量张量的守恒定律推导出来。A．巴巴别特鲁由运动理论导出了自旋粒子会受到的自旋和曲率的耦合项。引力场方程包含着粒子运动方程，这是广义相对论的一个重要特点。奇性理论60年代以来，彭罗塞等人系统地运用整体微分几何的方法来研究广义相对论。彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论，提示了广义相对论时空结构的重要性质和问题。早已知道在广义相对论中存在奇性。例如，史瓦西度规（见下文）在r=2MG/с2以及r＝0处是奇异的。直到1959年才发现，只要引入两个坐标系来覆盖时空，就可以避免r＝2MG/с2处的奇点。但是r＝0处的奇点却不是这种由于坐标选取不当而带来的虚假的奇异。又如，弗里德曼－罗伯孙-沃耳克宇宙度规(见下文)在宇宙时t=0处奇异，这也不是由于坐标选取不当带来的。在广义相对论中是否一定存在这种同坐标选取无关的奇性，彭罗塞和霍金等人建立的奇性理论回答了这个问题。他们证明，只要关于物质、能量、以及因果性等一些合理的物理条件成立，在广义相对论中就不可避免地存在着奇点。在这类奇点处，时空流形达到尽头。不仅在宇宙模型中起始的奇点是这样，在星体中引力坍缩终止的奇点也是这样。由于不知道奇性所遵循的规律，物理学、包括广义相对论，将随着奇点的出现而失效。一般认为，出现这种运动起始或终止于奇性的现象反映了广义相对论理论上的某种不完善，并不一定是客观世界所固有的。当前，有关奇性的深入研究以及如何避免这类奇性的问题，是一个很活跃的领域，克服广义相对论的这个重大疑难，将会使物理学对于时间、空间和引力的认识达到更高的境地。正能定理5人们知道，由于引力的性质，引力势能总是负的。这样，在大质量坍缩系统中就会有极大的负的引力结合能。那么，这会不会导致这类引力束缚系统的总能量或者质量变为负值，长期以来，人们一直猜测，在广义相对论中引力束缚系统的总能量或质量总是正定的。然而，直到不久前丘成桐等人运用大范围微分几何的方法才证明了这个猜测。他们指出，只要在类空超曲面上进行测量，质量总是正的。这个定理充实了广义相对论的理论基础，是近年来得到的一个重要成果。场方程的精确解和近似方法爱因斯坦引力场方程是高度非线性的，一般很难严格求解。只在对时空度规附加一些对称性或其他要求下，使方程大大简化，才有可能求出一些严格解。分析爱因斯坦场方程的另一条途径，是发展系统的近似方法。在历史上，有两种系统的近似方法起过重要的作用，这就是弱场近似和后牛顿近似。以下介绍一下重要的精确解和两个近似方法：球对称引力场和史瓦西度规在球对称的假定下，度规的一般表达式为其中A(r，t)与B(r，t)是两个未知函数，确定它们的具体形式要求解引力场方程。对于真空的情形，可以证明贝科夫定理：真空球对称引力场一定是静态的。因此，球对称中心质量外面的引力场一定是静态的。求解真空爱因斯坦方程，并要求距中心很远处的引力场同牛顿定律一致，从而可以得到这是广义相对论的第一个精确解。是由K．史瓦西于1916年求得，通称为史瓦西度规。显然，度规在r＝2MG/с2和r＝0处奇异。但是，M．克鲁斯卡等人指出，r＝2MG/с2处的奇异是由于只引用一个坐标系带来的，可以引入在r＝2MG/с2处通过“咽喉”相连的两个坐标系来避免，而且，后者具有最大解析延拓的性质。但是，r＝0处的奇点是本质的。对于球对称静态的星体，史瓦西在假定星体由密度为常数的不可压缩流体构成的前提下，求出了有源引力场方程的严格解，现在称为史瓦西内解。这个解给出来自星体表面的光谱线引力红移的上限。静态轴对称引力场和克尔－纽曼度规静态轴对称引力场的度规具有重要的物理意义。一个质量为M、电荷为Q、内禀角动量为J的转动球体的外部引力场的度规为其中6这个静态轴对称的度规是J．克尔和E．纽曼等人在60年代得到的，称为克尔－纽曼度规。当Q＝0时，称为克尔度规；J＝0时，称为雷斯纳－诺德斯特罗姆度规。Q＝J＝0时，还原为史瓦西度规。这个度规具有视界，可以描写一个黑洞的充要条件为M2≥