零阶保持器的传递函数为

北科大信息工程学院自动化12020/6/22采样控制系统（Sampled-DataControlSystems）第二章线性离散控制系统LinearDiscrete-TimeControlSystems北科大信息工程学院自动化22020/6/222.1采样控制2.2采样过程和采样定理2.3信号恢复2.4Z变换理论及线性差分方程求解2.5脉冲传递函数2.6采样系统的稳定性分析2.7采样系统的稳态误差2.8采样系统的暂态特性分析2.9离散系统的状态空间描述北科大信息工程学院自动化32020/6/22自动控制系统按信号形式划分可分为以下三种类型：连续控制系统，见图（a）采样控制系统，见图（b）数字控制系统，见图（c）图（a）北科大信息工程学院自动化42020/6/22图（c）图（b）北科大信息工程学院自动化52020/6/22采样系统的特点在连续系统中的一处或几处设置采样开关，对被控对象进行断续控制；通常采样周期远小于被控对象的时间常数；采样开关合上的时间远小于断开的时间；采样周期通常是相同的。北科大信息工程学院自动化62020/6/222.1采样控制一个典型的采样控制系统如图：e是连续的误差信号，经采样开关后，变成一组脉冲序列，脉冲控制器对进行某种运算，产生控制信号脉冲序列，保持器将采样信号变成模拟信号u，作用于被控对象。e*e*u*u*)(SG)(SGC＋reTe*u*脉冲控制器保持器u图2-1采样控制系统北科大信息工程学院自动化72020/6/22模拟信号——在时间上连续，且在幅值上连续（导数连续）的信号。采样信号——又称离散信号，按一定的时间间隔对模拟信号进行采样得到的在时间上离散的一系列脉冲。采样控制系统和连续控制系统的区别：在连续系统中，各处的信号都是模拟信号；在采样系统中，一处或数处的信号是采样信号。采样系统的个性——采样过程和采样信号保持采样系统和连续系统的共性——（1）闭环控制；（2）需分析稳定性、暂态性能和稳态性能；（3）需进行校正。北科大信息工程学院自动化82020/6/222.2采样过程和采样定理一、采样过程二、采样过程的数学表达式北科大信息工程学院自动化92020/6/22一、采样过程按一定的时间间隔对连续信号采样，将连续信号转换为脉冲序列的过程，称为采样过程。采样开关是用来实现采样过程的装置。采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间为，由于在实际中总有，且远小于中的时间常数，可近似认为。)(SGT0北科大信息工程学院自动化102020/6/22采样过程可用图表示采样信号是和的乘积，其中载波信号决定采样时刻，它是周期为T的单位脉冲序列，采样信号在nT(n=0,1,2…)时刻的值由决定。)(te)(*te)(tT)(tT)(tet0e(t)t0e(t)t0e(t)1T2T2TT载波器脉冲调制器te*tet载波信号te*teT图2-2采样过程示意图北科大信息工程学院自动化112020/6/22经采样得到的离散信号有可能无失真地恢复到原来的连续信号的条件是单位脉冲序列采样信号为采样信号的拉氏变换二、采样过程的数学表达式三、采样定理0)(nTnTtt）（00*)()()()()()(nnTnTtnTenTttettete＝）（0*)()]([)(nnTS*enTeteLsE）（tx*其中采样定理给出了选择采样周期T的依据。max2sTss2:＝采样角频率，频谱的上限频率。连续信号)(:maxtx北科大信息工程学院自动化122020/6/22因为是周期函数，因此，可将其展开成傅里叶级数。0()ktkTkktjkkseCkTt)(式中称为系统的采样频率。2sT22)(1TTtjkTksetTC001)(1TdttT北科大信息工程学院自动化132020/6/22将上述式子代入式有:ktjkseteTte)(1)(*对上式取拉氏变换，运用拉氏变换的复位移定理，我们得到E*(s):ksjksETsE)(1*上式在描述采样过程的复频域特征是极其重要的。一般连续信号e（t）的频谱是单一的连续频谱，如图2-3所示。*()()ketettkT北科大信息工程学院自动化142020/6/22图2-3(a)连续信号e（t）的频谱maxmax2s2sss*()Ej1T0maxmaxEj0图2-3(b)离散信号的频谱max2ste*北科大信息工程学院自动化152020/6/22为了使信号得到很好的复现，采样频率应大于等于原始信号最大频率的二倍，即max2s香农（Shannon）采样定理北科大信息工程学院自动化162020/6/22设e(t)=1(t)，试求e*(t)的拉氏变换。解：由*0()nTskEsente*211,11TSTSTSTSEseeee例2-1得北科大信息工程学院自动化172020/6/22C.Shannon(1916-2001)，毕业于麻省理工学院数学系，贝尔实验室研究员及麻省理工学院电机系教授。早市曾跟随V.Bush参与模拟计算机的研究并提出续电器路逻辑自动化理(1938)。二战期间在参加Bode领导的火炮控制系统研究过程中发表了著名《通信的数字理论》，从而奠定了信息的基础(1948)，被誉为信息论之父。1956年回到MIT任职电子工程系教授。北科大信息工程学院自动化182020/6/22理想滤波器的滤波特性为：)(jG102/s2/s其频率特性如图2-4()Gj2s2s图2-4理想滤波器的频率特性北科大信息工程学院自动化192020/6/22从时域性能指标来看，随动系统的采样角频率可近似取为:c10s由于，所以采样周期可按下式选取：2sTcT15采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr或调节时间ts按下列经验公式选取：rtT101或者stT401北科大信息工程学院自动化202020/6/222.3采样信号保持器一、零阶保持器二、一阶保持器北科大信息工程学院自动化212020/6/22一、零阶保持器,2,1,0)1()()(nTntnTnTXtXn，，图2-5零阶保持器作用示意采样开关保持器sGhktXhtX*tXtXhtXtXtXht零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，是一种最常用的保持器。它把采样时刻的采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻:1）零阶保持器北科大信息工程学院自动化222020/6/222）零阶保持器的传递函数根据零阶保持器的单位脉冲响应，推出其传递函数。零阶保持器的单位脉冲响应是一个矩形，宽度为T，高为1，它可表示成以下二个单位阶跃信号的迭加。)(1)(1)(Ttttg单位脉冲响应的拉氏变换就是零阶保持器的传递函数。seesstgLsGTsTSh111)]([)(01T)(tg01-1图2-6零阶保持信号分解北科大信息工程学院自动化232020/6/223）零阶保持器的频谱分析零阶保持器的传递函数为：1()TsheGss零阶保持器的频率特性为：2222sin12()222TTjjTTjTjjhTeTeeGjeTeTTjj北科大信息工程学院自动化242020/6/22其幅频特性和相频特性如图2-7所示图2-7零阶保持器的频率特性)(jGhSS2S323)(jGhT北科大信息工程学院自动化252020/6/22一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实行外推，它的外推输出式如图2-8所示。''()[(1)]()()xkTxkTxkTtxkTtT)(txh)(tx)(tx)(txh0TT2T3t图2-8应用一阶保持器恢复信号二、一阶保持器1）一阶保持器北科大信息工程学院自动化262020/6/22一阶保持器的脉冲响应函数应该如图2-9所示。th110tTT2T2①单位阶跃②单位斜坡③2×单位阶跃④2×单位阶跃⑤单位阶跃⑥单位斜坡12TT212tht图2-9一阶保持器的脉冲响应函数2）一阶保持器的传递函数北科大信息工程学院自动化272020/6/22根据一阶保持器脉冲响应函数的分解，可得其传递函数：21()(1)()TshseGsTTTs3）一阶保持器的频谱分析实线是一阶保持器幅频特性；虚线为零阶保持器频率特性。SS20180)(jGhS30280jGhS4T0.1图2-10保持器的频率特性北科大信息工程学院自动化282020/6/222.4z变换理论及线性差分方程求解一、定义二、z变换的性质三、z变换方法四、z反变换方法五、线性差分方程及其求解北科大信息工程学院自动化292020/6/22其中是连续函数的采样信号，一、定义*0()()[()]nnFzfnTzZft)(*tf)(tfTsez采样函数对应的Z变换是唯一的。Z变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。Z反变换表示为:)(*tf)()]([*1tfzFZ用查表方法可得到函数的Z变换。)(*tf**0()[()]()nTSnFsLftfnTe北科大信息工程学院自动化302020/6/221）线性定理式中a1,a2,···为常数。2)实平移定理ZXaZXatxatxaz22112211)()(10()mmKKZxtmTZXzxkTz()mzxtmTzXz二、z变换的性质当k0时，有成立，则有：0xkT北科大信息工程学院自动化312020/6/224)复平移定理()()tTZextxez5)复域微分定理()()dXzZtxtTzdz6)初值定理(0)lim()zxxz设函数的Z变换为，而且在Z平面上以原点为圆心在单位圆上或圆外没有极点，则)(tf)(zF)()1(1zFz1lim()lim()lim(1)()lim(1)()ttttftfnTzFzzFz3）终值定理北科大信息工程学院自动化322020/6/22例2-3三、z变换方法1、级数求和法1xtt的z变换。解：*011111nkkzxtxkTzzzz北科大信息工程学院自动化332020/6/22例2-4xtt的z变换。解：*1202knkzxtkTzTzTzkTz1*2312nzzxtTzTzkTz*1*11211nzxtzzxtTzTzTzTzz1*211Tzzxtz北科大信息工程学院自动化342020/6/222、部分分式法部分分式就是要利用最常见的几种函数的z变换形式，将一般的X(s)分解成这些典型环节，进而求X(z)。zXsXtxtx*11ttkkTszekTtxkTt1111zzstkTx2211zzTstkTkTx常用函数z变换表：北科大信息工程学院自动化352020/6/22常用函数z变换表：北科大信息工程学院自动化362020/6/22例2-5111XsXzssassa求解：2111aTaTaTaTzezzXzzzezeze例2-622XsXzs,求1112Xssjsjjsjsj