2010年江苏高考数学试题含答案详解

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式:V锥体=13Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．.1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.[解析]考查集合的运算推理。3B,a+2=3,a=1.2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.[解析]考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2i),2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_▲__.[解析]考查古典概型知识。3162p4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm。[解析]考查频率分布直方图的知识。100×（++）×5=30注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a=_______▲_________[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线112422yx上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______[解析]考查双曲线的定义。422MFed，d为点M到右准线1x的距离，d=2，MF=4。7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______[解析]考查流程图理解。2412223133,输出25122263S。8、函数y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y时，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa。9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆422yx上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____[解析]考查圆与直线的位置关系。圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||113c，c的取值范围是（-13，13）。10、定义在区间20,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=23。线段P1P2的长为2311、已知函数21,0()1,0xxfxx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的x的范围是__▲___。[解析]考查分段函数的单调性。2212(1,21)10xxxx12、设实数x,y满足3≤2xy≤8，4≤yx2≤9，则43yx的最大值是▲。[解析]考查不等式的基本性质，等价转化思想。22()[16,81]xy，2111[,]83xy，322421()[2,27]xxyyxy，43yx的最大值是27。13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cosbaCab，则tantantantanCCAB=____▲_____。[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。当A=B或a=b时满足题意，此时有：1cos3C，21cos1tan21cos2CCC，2tan22C，1tantan2tan2ABC，tantantantanCCAB=4。（方法二）226cos6cosbaCabCabab，2222222236,22abccabababab2tantansincossinsincossinsin()1sintantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABCABCABCABCAB由正弦定理，得：上式=22222214113cos()662ccccCabab14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯形的周长）梯形的面积,则S的最小值是____▲____。[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx（方法一）利用导数求函数最小值。224(3)()13xSxx，22224(26)(1)(3)(2)()(1)3xxxxSxx2222224(26)(1)(3)(2)42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx1()0,01,3Sxxx，当1(0,]3x时，()0,Sx递减；当1[,1)3x时，()0,Sx递增；故当13x时，S的最小值是3233。（方法二）利用函数的方法求最小值。令1113,(2,3),(,)32xttt，则：2224418668331tStttt故当131,83xt时，S的最小值是3233。二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t满足(OCtAB)·OC=0，求t的值。[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。（1）（方法一）由题设知(3,5),(1,1)ABAC，则(2,6),(4,4).ABACABAC所以||210,||42.ABACABAC故所求的两条对角线的长分别为42、210。（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；（2）由题设知：OC=(－2,－1)，(32,5)ABtOCtt。由(OCtAB)·OC=0，得：(32,5)(2,1)0tt，从而511,t所以115t。或者：2·ABOCtOC，(3,5),AB2115||ABOCtOC16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离。[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。由∠BCD=900，得CD⊥BC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC⊥平面PCD。因为PC平面PCD，故PC⊥BC。（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。易知DF=22，故点A到平面PBC的距离等于2。（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。从而AB=2，BC=1，得ABC的面积1ABCS。由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积1133ABCVSPD。因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。又PD=DC=1，所以222PCPDDC。由PC⊥BC，BC=1，得PBC的面积22PBCS。由APBCPABCVV，1133PBCShV，得2h，故点A到平面PBC的距离等于2。17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值，tan=，tan=，请据此算出H的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）tantanHHADAD，同理：tanHAB，tanhBD。AD—AB=DB，故得tantantanHHh，解得：tan41.24124tantan1.241.20hH。因此，算出的电视塔的高度H是124m。（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHhdADDBd，2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhHHhdHHhdddd()2()HHhdHHhd，（当且仅当()125121555dHHh时，取等号）故当555d时，tan()最大。因为02，则02，所以当555d时，-最大。故所求的d是555m。18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922yx的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（mt,）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M),(11yx、),(22yxN，其中m0,0,021yy。（1）设动点P满足422PBPF,求点P的轨迹；（2）设31,221xx，求点T的坐标；（3）设9t,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由422PBPF，得2222(2)[(3)]4,xyxy化简得92x。故所求点P的轨迹为直线92x。（2）将31,