重庆大学齿轮啮合原理研究生考核试卷及答案

研究生课程考核试卷（适用于课程论文、提交报告）科目：教师：姓名：学号：专业：类别：上课时间：考生成绩：卷面成绩平时成绩课程综合成绩阅卷评语：阅卷教师(签名)重庆大学研究生院制一、基本概念（每题3分，共计24分）1．解释齿轮的瞬心线？答：瞬心线是瞬时回转中心在坐标系中的轨迹。如图所示来解释齿轮瞬心线。设有两个直齿齿轮，它们的轴线平行，在垂直于轴线的一个截面内，齿轮的中心为1O及2O（图1.1），齿轮的瞬时角速度为1及2，从起始位置开始的转角为1及2，则1212=,=dddtdt，瞬时传动比为12i，11112222dddtidddt。如果齿轮副不是以等比传动，则12i是个变数，它可以表示为齿轮1的转角的函数1，即121=()if；当传动比是常值时，111222i。设平面Ⅰ随同齿轮1绕1O旋转，平面Ⅱ随同齿轮2绕2O旋转。在任意一点M处，齿轮1对齿轮2的相对运动速度矢量错误!未找到引用源。VⅡ，M点随着Ⅰ转动时的线速度矢量为V，M点随着Ⅱ转动时的线速度矢量为VⅡ。M点的位置不同，该点处的相对运动速度VⅡ也不同。对于=VVⅡ的点，其相对运动速度为零。由于这点的V与VⅡ方向相同，模也相等，它必定在中心联线12OO上（否则V与VⅡ的方向不可能相同），设它为图1.1中的P点，而1122OPrOPr，，则从V与VⅡ的模相等的条件可知，1122rr。所以瞬时传动比成为121221=rir。P点处的相对运动速度为零，所以P点就是两齿轮的瞬时相对运动中心（瞬心）。由于P点在联心线12OO上，且221211OPriOPr，当传动比12i是变数时，在齿轮传动过程中，P点的位置也是在12OO上变动的。P点在平面Ⅰ及Ⅱ上的轨迹就称为齿轮1及齿轮2的瞬心线（图1.2）。由于两瞬心线在任意瞬时都只接触在一点（瞬心），而在接触点处他们的相对运动速度又等于零，所以它们作相对的纯滚动。如果把两瞬心线做成摩擦轮并且让它们作纯滚动，那么它们的运动规律和两个齿轮的运动规律是一样的。图1.1两齿轮的相对运动图1.2瞬心线2．解释平面曲线的曲率？答：如图所示，用s表示曲线的弧长。考察曲线上分别与s和ss对应的两个相邻的点M和N，图1.3(a)。点M和N之间的弧长s，而是点M和N处的两条切线之间的夹角。当点N趋近于点M时，比值s的极限称为曲线在点M处的曲率（标记为K），即0limsKs。在0lim=sdsds存在的条件下，dKds。比值s称为曲线在点M处的曲率半径（标记为c），即=cs，且1=cK。这里的c是极限（密切）圆的半径，极限圆是当两个相邻点N和'N趋近于点M时通过点M和该两个相邻点画出的，图1.3(b)。圆心C称为曲率中心。图1.3齿轮的瞬时回转轴3．解释齿廓渐屈线？答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.4）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。图1.4齿廓的渐屈线4．解释不产生根切条件？答：假定曲面1是用来加工齿轮齿面2的刀具齿面。曲面2上出现奇异点是齿面在加工过程中可能产生根切的一种警告。在加工过程中所出现的曲面2上的奇异性的数学解释，可以用方程0)2(rv来说明，从该式可导出方程0)12()1(rrvv和啮合方程的微分式0)],,([ufdtd从而使我们在曲面1上确定出这样一条曲线L，该线将形成曲面2上的奇异点。我们用曲线L限定曲面1，可以避免在曲面2上出现奇异点，从而不产生根切。5．解释曲面族的包络存在的必要条件？答：用下列方程0)(),,(222rruruf给出包络面2存在的必要条件。该方程将曲面1的曲线坐标),(u和广义运动参数加以联系。该方程是曲面族),,(22urr包络存在的必要条件。如果这个方程得到满足，并且包络确实存在的话，则包络在2S中可以用联立方程0)(),,(222rruruf和方程),,(22urr来表示。这两个方程用三个相关的曲面参数),,(u来表示包络。6．解释啮合面？答：配对曲面1和2（图1.5）在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系fS中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：(,,)(,,)0ffrrf。式中11ffrMr，这里，44矩阵1fM描述1S到fS的坐标变换。图1.5齿面上的瞬时接触线7．解释共轭齿形？答：图1.6中Ⅰ、Ⅱ是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P。P点在联心线12OO上，而22112112=OPriOPr。当传动比12i是常值时，P点在联心线12OO上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通过一个定点（节点）P的。图1.6共轭齿形8．写出Euler的方程式？答：Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为。22cossinnKKqKqⅡ式中q是由矢量MN和单位矢量e构成的夹角（图1.7）。矢量MN表示在曲面的切面上选取的方向，而nK是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量e和eⅡ沿着两个主方向，而K和KⅡ是主曲率。图1.7矢量的分解二、分析曲线和曲面（20分）要求：自选曲线及曲面方程，采用微分几何理论，结合数学软件的方法；1）自选曲线方程，并对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：运用matlab软件绘制曲线方程。正弦方程为xsin，余弦方程为xcos。程序如下：x=linspace(0,10);z1=cos(x);z2=sin(x);y1=linspace(0,1);y2=linspace(2,3);[X,Y1]=meshgrid(x,y1);[X,Y2]=meshgrid(x,y2);Z1=repmat(z1,100,1);Z2=repmat(z2,100,1);h1=mesh(X,Y1,Z1)holdonh2=mesh(X,Y2,Z2)set(h1,'cdata',ones(size(Z1))*0.1)set(h2,'cdata',ones(size(Z1))*0.2)axis([-inf,inf,0,10,-inf,inf])view(41,50)图形如下：2）自选曲面方程，并对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：运用matlab软件绘制一球面。球面方程为2222RZYX其中R=1:1:4。程序如下：clear,clc[x,y,z]=sphere(30);forR=1:1:4xx=R*x;yy=R*y;zz=R*z;zz(z0)=nan;mesh(xx,yy,zz)holdonendaxisequal图形如下：三、推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1.假定两齿轮绕两个平行轴线以相同的方向传递回转运动下图（图1）。坐标系1S和2S刚性固接到两齿轮1和2；fS和pS是固定坐标系；E是最短距离；1和2是齿轮两瞬心线的半径。图1推导：1)确定矩阵12112MM。2)从S2到S1的坐标变换方程。3)从S1到S2的坐标变换方程。解：1)从2S到1S的坐标系变换是基于如下的矩阵方程：1212122=ffpprMrMMMr(1)式中1fM和2pM是转动矩阵，而fpM是移动矩阵。这里1000010000cossin00sincos22222pM(2)1000010000cossin00sincos11111fM(3)100001000100001EMfp(4)从方程（2）、（3）、（4）可导出10000100cos0)cos()sin(sin0)sin()cos(121211212112EEM(5)从1S到2S的坐标系变换是基于如下的矩阵方程：1121212rMMMrMrfpfp（6）式pM2中1fM和是转动矩阵，而pfM是移动矩阵。这里1000010000cossin00sincos22222pM（7）1000010000cossin00sincos11111fM（8）100001000100001EMpf（9）从方程（7）、（8）、（9）可导出10000100cos0)cos()sin(sin0)sin()cos(221212212121EEM(10)则，12112MM2）利用方程(5)，我们得到从S2到S1的坐标变换方程：212212212122122121sin)cos()sin(sin)sin()cos(zzEyxyEyxx（11）3）利用方程(10)，我们得到从S1到S2的坐标变换方程：122211211222112112sin)cos()sin(sin)sin()cos(zzEyxyEyxx（12）2.坐标系错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程11sincosxuyu（错误!未找到引用源。）表示在错误!未找到引用源。中。这里，a是齿形角（压力角）；u是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M，错误!未找到引用源。；对于点错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。）。瞬时回转中心为错误!未找到引用源。。齿轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与错误!未找到引用源。轴重合（图2）。齿条刀具的位移错误!未找到引用源。和齿轮的转角错误!未找到引用源。有如下关系式错误!未找到引用源。sr图2求：1）推导啮合方程。2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合线方程。3）导出被加工齿轮的齿形方程。4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。解：1)啮合方程可写成如下形式：1111110xyXxYyNN这里110XrY，是表示在1S中的I的坐标。111cossin0TNTk式中1T和1N是产生齿形的切线矢量和法线矢量，1k是1z轴的单位矢量。从上述方程可以导出啮合方程的下列表达式(,)sin0fr2)啮合线方程可以表示为：11(,)sin0ffrMrfr于是，sincossin0ffxryrr从而可以得到啮合线方程如下，2cossincosffxryrr3)被加工齿轮的齿形用下列方程表示S1到S2的坐标变化：2121211=ffrMrMMr(1)啮合方程：(,)sin0fr(2)式中21cossin(cossin)=sincos(sincos)001rMr(3)方程(1)～(3)可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式：22sin()(sincos)cos()(cossin)sin0xryrr(4)方程(4)用有联系的参数和以双参数形式表示被加工齿形（它是平面曲线）。在这种特