解三角形知识点总结及典型例题

解三角形知识点总结及典型例题一、知识点复习1、正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）12sin,2sin,2sinaRAbRBcRC（）(边化角公式）2sin,sin,sin222abcABCRRR（）(角化边公式）3::sin:sin:sinabcABC（）sinsinsin(4),,sinsinsinaAaAbBbBcCcC2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a，b和A，求B时的解的情况:如果BAsinsin，则B有唯一解；如果1sinsinBA，则B有两解；如果1sinB，则B有唯一解；如果1sinB，则B无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.5、常用的三角形面积公式（1）高底21ABCS；（2）BcaAbcCabSABCsin21sin21sin21（两边夹一角）.6、三角形中常用结论（1）,,(abcbcaacb即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）；（2）sinsin(ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）.（3）在△ABC中，CBA，所以CBAsin)sin(；CBAcos)cos(；CBAtan)tan(.2sin2cos,2cos2sinCBACBA.二、典型例题题型1边角互化[例1]在ABC中，若7:5:3sin:sin:sinCBA，则角C的度数为【解析】由正弦定理可得7:5:3::cba，,令cba、、依次为753、、，则Ccos=2222abcab=222357235=12因为C0，所以C23[例2]若a、b、c是ABC的三边，222222)()(cxacbxbxf，则函数)(xf的图象与x轴()A、有两个交点B、有一个交点C、没有交点D、至少有一个交点【解析】由余弦定理得2222cosbcabcA，所以222()2cosfxbxbcAxc=2222(cos)cosbxcAccA，因为2cosA1,所以222cosccA0，因此()fx0恒成立，所以其图像与x轴没有交点。题型2三角形解的个数[例3]在ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是()A、7a，14b，30A；B、25b，30c，150C；C、4b，5c，30B；D、6a，3b，60B。题型3面积问题[例4]ABC的一个内角为0201，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为【解析】设△ABC的三边分别：4,,4xxx，∠C=120°，∴由余弦定理得：0222120cos)4(2)4()4(xxxxx，解得：10x，∴ABC三边分别为6、10、14，113sin610153222ABCSabC.题型4判断三角形形状[例5]在ABC中，已知2222()sin()()sin()abABabAB,判断该三角形的形状。【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]aABABbABAB222cossin2cossinaABbBA由正弦定理，即知22sincossinsincossinAABBBAsinsin(sincossincos)0ABAABBsin2sin2AB由22,20BA，得22AB或22AB,即ABC为等腰三角形或直角三角形.方法二：同上可得222cossin2cossinaABbBA由正、余弦定理，即得：2222222222bcaacbabbabcac22222222()()abcabacb即22222()()0abcabab或222cab,即ABC为等腰三角形或直角三角形.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角）题型5正弦定理、余弦定理的综合运用[例6]在ABC中，,,abc分别为角CBA,.的对边，且sinsinsin()ACpBpR且214acb（1）当5,14pb时，求,ac的值；（2）若角B为锐角，求p的取值范围。【解析】（1）由题设并由正弦定理，得51,44acac，解得，11,4ac或1,14ac（2）由余弦定理，2222cosbacacB=2222211()22coscos22acacacBpbbbB即231cos22pB，因为1cos0B，所以23(,2)2p，由题设知0p，所以226p.三、课堂练习：1、满足45A，6c，2a的ABC的个数为m，则ma为.2、已知35,5ba，30A，解三角形。3、在ABC中，已知4acm，xbcm，60A，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A、4xB、40xC、3384xD、3384x4、在ABC中，若),(41222cbaS则角C.5、设R是ABC外接圆的半径，且BbaCARsin)2()sin(sin222，试求ABC面积的最大值。6、在ABC中，D为边BC上一点，33BD，135sinB，53cosADC，求AD.7、在ABC中，已知,,abc分别为角CBA,,的对边，若coscosaBbA，试确定ABC形状。8、在ABC中，,,abc分别为角CBA,,的对边，已知cos2cos2cosACcaBb（1）求sinsinCA；（2）若1cos,2,4Bb求ABC的面积。四、课后作业1、在ABC中，若bcacbcba3))((，且CBAcossin2sin，则ABC是A、等边三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、等腰直角三角形2、ABC中若面积S=)(41222cba则角C3、清源山是国家级风景名胜区，山顶有一铁塔AB，在塔顶A处测得山下水平面上一点C的俯角为，在塔底B处测得点C的俯角为，若铁塔的高为hm，则清源山的高度为m。A、)sin(cossinhB、)sin(sincoshC、)sin(sinsinhD、)sin(coscosh4、ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。5、在ABC中，,,abc分别为角ABC、、的对边，且满足sincoscAaC（1）求角C的大小（2）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角BA,的大小。