对流方程差分法

对流方程的差分法一、研究对象1.研究的对象——对流方程（一阶双曲型）.(,)(,)0,,0,(,0)(),,uxtuxtaxttxuxxx易见，此方程有精确解(,)().uxtxat事实上，由知，dddduuxutxttddxat当时，就有.d0dut即存在一族特征线xat其中为任意常数，使得在这样的特征线上有，也就是u值为常数。d0dutxatxt.0xat00(,)xt.0O要获得在x-t平面上的任意一点处的函数值，00(,)xt只要将其沿特征线投影到x轴上，得到投影点，0(,0)则.000(,)()uxt考虑一维双曲型对流方程：(,)(,)0,,0,(,0)(),,uxtuxtaxttxuxxx1.区域剖分(区域离散）将原方程的上半平面求解区域分割成矩形一致网格。h—空间步长，—时间步长，—网格节点，(,)jkxt,0,1,jZk(,)(,).kjjkuuxtxt用表示函数在点处的近似2.原方程弱化为节点处的离散方程(,)(,)00,,0,(,)(),,jkjkxtxtjjuuajZktxuxtxjZ3.处理方程中的偏导数对偏导数用不同的差商近似将建立不同的差分格式。下面进行具体的讨论。1(,)(,)(,)jkjkjkxtuxtuxtut①：关于时间、空间的一阶偏导数都用向前差商近似，误差为()O误差为()Oh将上面的式子代入离散方程，可得二、迎风格式（UpwindScheme）1(,)(,)(,)jkjkjkxtuxtuxtuxh(,0)(),,jjuxxjZ,0,jZk11(,)(,)(,)(,)()jkjkjkjkuxtuxtuxtuxtaOhh将数值解代替精确解并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：(,)jkuxtkju可见上述格式的局部截断误差为()Oh1100,,0,(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZ4.差分格式的求解——时间渐进显格式1100,,0,(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZ101(1),(),,,0,kkkjjjjjaururuuxrjZkh5.用谐波分析方法利用增长因子来讨论稳定性。设，相当于对数值解进行变量分离，jixkkjuve对数值格式稳定性的考察现在就转化为对振幅是否会放大进行讨论。1,kkvGv如果则G就称为增长因子，且||1G是数值格式稳定的充要条件，也称为VonNeumann条件。现在研究上述格式的稳定性。101(1),(),,,0,kkkjjjjjaururuuxrjZkh易见，11(1)jjjixixixkkkververve从而11(1cos)sinihGrrerhirh为使数值格式稳定，则增长因子G必须满足2222||1(1cos)sin12(1)(1cos)1Grhrhrrh从而获得原格式的稳定性条件10r即且0aha②：关于时间、空间的一阶偏导数分别利用一阶向前差商和一阶向后差商近似，即有1(,)(,)(,)jkjkjkxtuxtuxtut1(,)(,)(,)jkjkjkxtuxtuxtuxh，误差为()O误差为()Oh再将上述近似代入离散方程，可得11(,)(,)(,)(,)(),,0,(,0)(),,jkjkjkjkjjuxtuxtuxtuxtaOhhjZkuxxjZ将数值解代替精确解并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：(,)jkuxtkju可见上述格式的局部截断误差为()Oh1100,,0,(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZ101(1),(),,0kkkjjjjjururuuxjZk上述格式还可简写为也不难得到此格式的增长因子为11(1cos)sinihGrrerhirh从而有稳定性条件要求2222||1(1cos)sin12(1)(1cos)1Grhrhrrh01r即且0aha综上，我们有以下迎风格式：1100,,0,(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZa0时a0时1100,,0,(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZ且稳定性条件为||ha这样我们可以根据原方程中系数a的符号来选取恰当的步长及合适的数值格式。迎风格式实际上是在双曲型方程离散的过程中将关于空间的偏导数用在特征方向一侧的单边差商来代替，体现了原方程中波的传播方向，它们都是一阶格式。事实上，原方程含有未知函数关于空间的一阶偏导数项，也就是对流项，尽管在数学理论上对这个一阶偏导数进行离散是没有什么特殊困难的，但在物理过程看却不是这样，因为对流作用带有强烈的方向性，所以对流项的离散是否合适直接影响数值格式的性能，这也就说明了迎风格式之所以有效是因为使用了单边差商。③：前面讨论了关于时间和空间的一阶偏导数均用一阶差商近似的情况，接下来容易想到可以对空间的偏导数采用二阶中心差分来近似，从而有1(,)(,)(,)jkjkjkxtuxtuxtut11(,)(,)(,)2jkjkjkxtuxtuxtuxh误差为()O误差为2()Oh再将上述近似代入离散方程，可得1112(,)(,)(,)(,)(),2,0,(,0)(),,jkjkjkjkjjuxtuxtuxtuxtaOhhjZkuxxjZ11100,,0,2(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZ将数值解代替精确解并忽略高阶小项，则可以建立以下差分格式：(,)jkuxtkju可见上述格式的局部截断误差为2()Oh上述格式还可简写为也不难得到此格式的增长因子为1011,(),,022kkkkjjjjjjrruuuuuxjZk1()1sin2ihihrGeeirh1()1sin2ihihrGeeirh显然对任何都有sin0h22||1sin1Grh从而数值格式完全不稳定。三、蛙跳格式（Leap-FrogScheme）④：对上述不稳定情形进行改进，容易想到对时间和空间的偏导数都采用二阶中心差分来近似，从而有11(,)(,)(,)2jkjkjkxtuxtuxtut误差为2()O11(,)(,)(,)2jkjkjkxtuxtuxtuxh误差为2()Oh再将上述近似代入离散方程，可得111122(,)(,)(,)(,)(),22,0,(,0)(),,jkjkjkjkjjuxtuxtuxtuxtaOhhjZkuxxjZ将数值解代替精确解并忽略高阶小项，则可以建立以下蛙跳格式：(,)jkuxtkju111100,,0,22(),,kkkkjjjjjjuuuuajZkhuxjZ可见上述格式的局部截断误差为22()Oh上述格式还可简写为三层格式也不难得到此格式的增长因子为11011()0,(),,0,kkkkjjjjjjuruuuuxjZk22sin1sinGirhrh当且仅当时，从而||1r||1GVonNeumann条件满足，数值格式稳定。蛙跳格式是个三层格式，不能自启动，需要与其它方法（二阶方法）联合。四、Lax-Friedrichs格式⑤：在情形③中修改关于时间的一阶偏导数，将用其左右相邻两节点的算术平均来近似，(,)jkuxt就是取111(,)1(,)(,)(,)2jkjkjkjkxtuxtuxtuxtut关于空间的一阶偏导数仍用二阶中心差分，即11(,)(,)(,)2jkjkjkxtuxtuxtuxh再将上述近似代入离散方程，可得11111221(,)(,)(,)(,)(,)22(),,0,(,0)(),,jkjkjkjkjkjjuxtuxtuxtuxtuxtahOhjZkuxxjZ将数值解代替精确解并忽略高阶小项，则可以建立以下Lax-Friedrichs格式：(,)jkuxtkju1111101()20,,0,2(),,kkkkkjjjjjjjuuuuuajZkhuxjZ易见，其局部截断误差为.22()hOhOLax-Friedrichs格式1111101()20,,0,2(),,kkkkkjjjjjjjuuuuuajZkhuxjZ可以改写为101111(1)(1),(),,0,22kkkjjjjjururuuxjZk利用分解式可以得到其增长因子为11cossin22ihihrrGeehirh222222||cossin1(1)sinGhrhrh从而222222||cossin1(1)sinGhrhrh||1r可见，当时就有，从而数值格式稳定。||1G根据局部截断误差知，22()hOhO当取定为常数时，Lax-Friedrichs是一阶格式。arh下面介绍一个二阶格式，通过泰勒公式及原方程变形而获得。五、Lax-Wendroff格式uuatx22222uuuuuaaaaattxxtxxx再根据泰勒公式就有22312(,)(,)(,)(,)()2jkjkjkjkxtxtuuuxtuxtOtt22232(,)(,)(,)()2jkjkjkxtxtuauuxtaOxx上式中一阶、二阶偏导都用中心差分来近似，将数值解代替精确解并忽略高阶小项，则可以建立以下Lax-Wendroff格式：(,)jkuxtkju222312(,)(,)(,)(,)()2jkjkjkjkxtxtuauuxtuxtaOxx2211111202,,0,22(),,kkkkkjjjjjkkjjjjuuuuuauuajZkhhuxjZ易见，其局部截断误差为.2223()OhhLax-Wendroff格式可简记为：12011(1)(1)(1),(),,0,22kkkkjjjjjjrrrruuruuuxjZk12011(1)(1)(1),(),22kkkkjjjjjjrrrruuruuux22(1)(1)(1)221(1cos)sinihihrrrrGererhirh利用分解式容易得到其增长因子为jixkkjuve稳定性要求||1G2222222||(1)12coscos1Grrrhrhr从而获得Lax-Wendroff格式的稳定性条件||1r最后再介绍一个二阶的Beam-Warming格式，本质上它充分考虑了迎风格式的“迎风”特点，同时借用Lax-Wendroff格式的设计思想提高了精度。六、Beam-Warming格