振动微分方程

8结构的动力计算8.1一般概念一、结构的动力荷载及分类动力荷载，是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明显的振动，即在平衡位置附近往返运动。静力荷载，是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷载；同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢，使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载动力荷载分类：周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载（1）周期荷载：随时间周期性变化的荷载P(t)tPt（2）冲击荷载：作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载P(t)ttrP（3）突加荷载：在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载P(t)t（4）随机荷载：不能用确定的函数表示，非确定性的荷载P(t)t二、动力计算的内容和研究方法首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，然后进行分析。无论是确定结构的动力特性，或是计算动力反应，都是从研究结构质量的运动规律入手，把质点的位移作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。动静法是根据达朗贝尔（d’Alembert)原理，设想将惯性力I(t)加于振动体系的质点上，则任一瞬时体系中的实有各力与惯性力处于平衡状态动力特性，是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。动力反应，是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时间的函数；还与结构的动力特性有关。与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程8.2动力计算简图和动力自由度动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的分布一个动力体系运动过程中确定其任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数的数目，为该体系的动力自由度实际结构的质量都是连续分布的，是无限自由度体系，选取动力计算简图是，常将无限自由度体系化为有限自由度体系。y(x,t)EIL_mxmEIL2m3m1mty1_12mLm_324mLmm单自由度体系EIL2m3m1m5m4mty1ty2ty3_3214mLmmm_548mLmm多自由度体系EIL8.3单自由度体系的自由振动体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移（y0）和初始速度（v0）引起的振动，叫做自由振动一、运动微分方程根据动静法，建立质点的运动方程，可采用两种方式（一）动力平衡方程法（刚度法）取质点隔离体为研究对象，质点所受各力保持平衡建立运动方程时考虑质点所受的力有：（1）重力W为静力荷载（2）弹性恢复力与位移成正比，方向与位移指向相反。k为刚度系数，其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需的在质点上所加的力（3）阻尼力)]([)(tyyktSjw)()(tyctR)()(tymtI与质点的速度成正比，方向与速度相反。c为粘滞阻尼系数（4）惯性力其大小为质点质量与质点加速度之积，方向与加速度方向相反yjwy(t)mmW)(tS)(tR)(tI0)()()(WtStRtIWtyyktyctymjw)]([)()(可写出平衡方程：0)()()(tkytyctymWkyjw因，可得出质点振动的运动微分方程：当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力（二）位移方程法（柔度法）y(t)m)(tR)(tIf（柔度系数）1P按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的可得方程：)]()([)(tRtIfty0)(1)()(tyftyctym柔度系数f和刚度系数k有如下关系：kf1mkmf120)()()(2tytymcty令则两种方法所得方程可写成统一形式二、无阻尼自由振动单自由度体系无阻尼自由振动的运动微分方程：0)()(2tytytCtCtycossin)(21它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：常数C1，C2由初始条件确定vyyy)0()0(vCyC12设t=0m静力平衡位置质点位移方程：tvtytysincos)(（一）运动微分方程解可知，自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移y引起，按余弦规律振动；另一部分是初始速度v引起，按正弦规律振动。令cossinAvAy)sin()(tAty可得：表示合成运动仍为简谐运动，其中A和φ为：vytgvyA122振幅初相位y-yTy0tTvvyt0Tyt0-AA（二）自振周期与频率由运动方程可知自由振动是简谐周期运动周期2Tjwygmgfgmfmk1频率1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率；2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比；3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。例1计算结构的频率和周期（EI为常数）fmhhEIhf3333mhEImkEImhT3223例2计算结构的频率和周期mEIEIh11312hEI312hEIk324hEIk324mhEImkEImhT24223（三）质点的振动规律质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：)sin()(tAty)sin()()(2tmAtymtI)sin()(2tAty)sin()(tAty(1)当体系处在平衡位置时，加速度及惯性力为零，而速度最大,0)(ty,0)(tI,)(maxAtyAty)(max2max)(mAtI2max)(Aty达到振幅位置时，速度为零，而位移、加速度及惯性力同时达到最大（2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置建立运动方程，所得运动方程是代数方程而不是微分方程（3）弹性力指向永与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同例：求图示梁频率1A01I2A02I此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为A1A2,惯性力幅值为2220221101,AmIAmIaAaA3,21ka2由平衡方程0AM1m2mEI=∞2aaakABAB04)3(221kmm即2134mmk二、阻尼对自由振动的影响实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力。事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止，非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，最后停止振动。有阻尼的自由振动运动微分方程：022yyymc2阻尼比当ξ≥1时，体系的运动为非振动状态；当ξ1时，称为低阻尼，体系呈振动运动。当ξ1，及初始条件00)0()0(vyyy、方程可解为：)sincos()(tyvtyetyrrrt或)sin)(tAetyrt(yvytgyvyArr122,其中yt0ykyk+1tAerrT2ktkAey第k个振幅为经过一周期相邻两振幅比值rrkkTTttkkeAeAeyy)(1阻尼比ξ越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减可通过试验的方法测算阻尼比22ln1rrkkTyy由自由振动试验曲线量测出任何相邻的两个振幅，算出对数衰减率δ，则可求得阻尼比mc22可用相隔i个周期的两个振幅计算δ，可提高ξ精确度iTiyyrikk2lni28.4单自由度体系的受迫振动体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时，其振动称为受迫（或强迫）振动。m)(tPy(t)m)(tS)(tR)(tI)(tP由质点的平衡可得：)()()()(tPtkytyctymmtPtytyty)()()(2)(2或：单自由度体系强迫振动的振动微分方程若体系的动力荷载不在质点上作用m)(tPy(t)一、运动微分方程f111f1P1由位移方程可得：)()]()([)(111tPftRtIftyP即)()(1)()(11111tPfftyftyctymP或mtPtytytye)()()(2)(2)()(111tPfftPPe二、简谐荷载下的无阻尼受迫振动设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为：tPtPsin)(扰力幅值荷载频率不考虑阻尼，振动微分方程：tmPtytysin)()(2上式中：)(tP)(tR)(tImy(t)（一）质点的位移方程齐次解：tCtBtysincos)(1特解：tDtysin)(2将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定：)1(22mPD频比，扰力频率与自振频率比质点位移方程为齐次解和特解之和：tmPtCtBtysin11sincos)(22设零初始条件，即0)0(,0)0(yy,0t)1(022mPCB最后)sin(sin11)(22ttmPty质点的位移方程由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率θ的振动。第二项是按自振频率ω的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行消失，最后剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为纯强迫振动。在振动开始两种振动共存阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动。（二）稳态强迫振动的动力反应质点的位移方程：tmPtysin11)(22振动频率和荷载频率相同，二者完全同步振幅jpymPA2211PfmPyjp2211动力系数扰力幅值产生的静位移动力系数：最大动力位移与相应静力位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标1023123βμ当β→0时,μ→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理当0β1时,μ1，并且随β的增大而增大当β=1时,μ=∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”当β1时,μ的绝对值随β的增大而减小，且为负值，质点的位移和扰力的指向相反（1）单自由度体系（2）受简谐荷载作用（3）荷载位于质点上当求结构的最大动力反应时，可用乘以动力系数的扰力幅值P代替扰力幅值P与惯性力幅值作用，用静力方法计算。0IPPmPmPymPAmPIPjp22222201111例1：已知m=300kg，EI=90×105N.m2,k=48EI/l3,P=20kN,θ=80s-1，求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。l/2EIl/2tPsinm解：1)求ωEIlEIlEIlf1925192483331316.13451921smlEImf2)求β552.111223)求ymax，MmaxmEIlPPfy35333max1075.51090192451020552.11925mkNlPM04.31420552.141)(41max体系满足前面的条件时，不仅荷载、质点位移和惯性力同步变化，而且各种的动力反应的动力系数μ相同,故可利用μ求体系的动力反应。例2：图示简支梁跨中有一集中质量m，支座A处受动力矩Msinθt作用，求质点的动位移和A的动转角的幅值。解：体系的动力荷载Msinθt不是作用在质点，因而不能直接利用μ求动位移，可