2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题(解析版)

第1页共12页2018-2019学年上海市华东师范大学第二附属中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．在空间中，“直线m平面”是“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件【答案】A【解析】若“直线m平面”则“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”，正确；反之，若“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”则“直线m平面”是错误的，故直线m平面”是“直线m与平面内无穷多条直线都垂直”的充分非必要条件.故选A.2．一组统计数据12345,,,,xxxxx与另一组统计数据1234523,23,23,23,23xxxxx相比较（）A．标准差一定相同B．中位数一定相同C．平均数一定相同D．以上都不一定相同【答案】D【解析】根据数据变化规律确定平均数、标准差、中位数变化情况，即可判断选择.【详解】设数据12345,,,,xxxxx平均数、标准差、中位数分别为xm，，因为23,12345iiyxi，，，，，所以数据1234523,23,23,23,23xxxxx平均数、标准差、中位数分别为223xm+3，，2，即平均数、标准差、中位数与原来不一定相同，故选：D【点睛】本题考查数据变化对平均数、标准差、中位数的影响规律，考查基本分析求解能力，属基础题.3．如图，点、、ABC分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，(0,0,2)OC，第2页共12页平面ABC的法向量为(2,1,2)n，设二面角CABO的大小为，则cos()．A．43B．53C．23D．23【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO的一个法向量为：0,0,2OC，由空间向量的结论可得：42cos233||||OCnOCn.本题选择C选项.点睛：(1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住条件有目的推理论证.(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，1ADAB，ADAB，45BCD，将△ABD沿对角线BD折起，设折起后点A的位置为A，使二面角ABDC为直二面角，给出下面四个命题：①ADBC；②三棱锥ABCD的体积为26；③CD平面ABD；④平面ABC平面ADC；其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】取BD中点O，根据面面垂直性质定理得AO平面BCD，再根据线面垂直判定与性质定理、面面垂直判定定理证得CD平面ABD以及平面ABC平面ADC；利用锥体体积公式求三棱锥ABCD的体积，最后根据反证法说明ADBC不成立.第3页共12页【详解】因为1ADAB，ADAB，所以ABD△为等腰直角三角形，因为AD∥BC，45BCD，所以1351354590ADCBDCBDCDoo,从而BDC为等腰直角三角形，2CDBD取BD中点O，连接22AOAO，如图，因为二面角ABDC为直二面角，所以平面ABD平面BCD，因为ABDV为等腰直角三角形，所以,AOBDBD平面ABD平面BCD,AO平面ABD,因此AO平面BCD，所以三棱锥ABCD的体积为211212(2)33226BDCAOSV,②正确；因为AO平面BCD，CD平面BCD，所以AOCD，因为BDCD，AOBDOI,,AOBD平面ABD，所以CD平面ABD；即③正确;因为CD平面ABD，AB平面ABD；所以CDAB；由已知条件得ADAB,CD,,ADDADCDI平面ACD,因此AB平面ACD,因为AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC；即④正确；如果ADBC，而由AO平面BCD，BC平面BCD，所以AOBC，因为AOADAOI,,AOAD平面ABD，所以BC⊥平面ABD；因为BD平面ABD；即BCBD,与4CBD矛盾,所以①不正确;故选：C【点睛】本题考查面面垂直性质与判定定理、线面垂直判定与性质定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.第4页共12页二、填空题5．6(13)x展开式中含有2x的系数为________【答案】135【解析】根据二项式定理确定含有2x的项数，进而得系数【详解】16(3)rrrTCxQ令2r=得含有2x的系数为226(3)135C故答案为：135【点睛】本题考查二项式定理及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知球的体积为36，则该球大圆的面积等于______.【答案】9【解析】由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积.【详解】因为球的体积为36，设球的半径为r，则34363r，解得：3r，因为球的大圆即是过球心的截面圆，因此大圆的面积为29Sr.故答案为：9.【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.7．在10件产品中有8件一等品，2件二等品，若从中随机抽取2件产品，则恰好含1件二等品的概率为___【答案】1645【解析】先求从10件产品中随机抽取2件产品事件数，再求恰好含1件二等品的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】从10件产品中随机抽取2件产品有21045C种方法；第5页共12页其中恰好含1件二等品有118216CC种方法；因此所求概率为1645故答案为：1645【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8．已知某市A社区35岁至45岁的居民有450人，46岁至55岁的居民有750人，56岁至65岁的居民有900人．为了解该社区35岁至65岁居民的身体健康状况，社区负责人采用分层抽样技术抽取若干人进行体检调查，若从46岁至55岁的居民中随机抽取了50人，试问这次抽样调查抽取的人数是________人．【答案】140【解析】根据题意可得抽样比为501,75015则这次抽样调查抽取的人数是114507509002100140,1515即答案为140.9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为____【答案】191192【解析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A的概率为5731(1)(1)(1)684192，所以这位考生至少得1个A的概率为11911192192故答案为：191192【点睛】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：第6页共12页其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1代表“生活不能自理”，按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位，则被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为___【答案】35【解析】先确定抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数，再根据古典概型概率求解.【详解】因为350人中健康指数大于0和不大于0各有280，70人，所以根据分层抽样抽取5位中健康指数大于0和不大于0的人数分别为4，1；因此被访问地3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为243535CC故答案为：35【点睛】本题考查分层抽样以及古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为．【答案】【解析】【详解】试题分析：用间接方法，符合条件的取法的种数为：4211233164C4CCC5601672472.【考点】排列与组合12．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则1PAPC的取值范围是__.【答案】[﹣12，0]【解析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1，计算PA•1PCx2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】第7页共12页解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z＝1；∴PA（1﹣x，﹣y，﹣1），1PC（﹣x，1﹣y，0），∴PA•1PCx（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0＝x2﹣x+y2﹣y22111222xy，由二次函数的性质可得，当x＝y12时，PA•1PC取得最小值为12；当x＝0或1，且y＝0或1时，PA•1PC取得最大值为0，则PA•1PC的取值范围是[12，0]．故答案为：[12，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目．13．设正方形ABCD的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点的三角形中任意取出两个，则它们面积相等的概率为________【答案】37【解析】先确定以五个点A、B、C、D、O为顶点的三角形的个数，再确定从中取出两个的事件数，从中取出两个面积相等的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】第8页共12页以五个点A、B、C、D、O为顶点的三角形共有3528C,则从中取出两个有28=28C种方法；因为,ABCACDBCDABDOABOCBODBOCDSSSSSSSSVVVVVVVV,因此从中取出两个面积相等有242=12C种方法；从而所求概率为123=287故答案为：37【点睛】本题考查古典概型概率以及简单计数，考查综合分析求解能力，属中档题.14．数列{}na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，若记数据1a，2a，3a，，2019a的标准差为1，数据11S，22S，33S，，20192019S的标准差为2，则12________【答案】2【解析】根据等差数列性质分析两组数据之间关系，再根据数据变化规律确定对应标准差变化规律，即得结果.【详解】因为数列{}na是公差不为零的等差数列，其前n项和为nS，所以111=+222nnnaaaanS，因此2112，即122故答案为：2【点睛】本题考查等差数列和项性质以及数据变化对标准差的影响规律，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题15．已知正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为2，113AD.第9页共12页（1）求该四棱柱的侧面积与体积；（2）若E为线段1AD的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小.【答案】（1）(222323)232S，22312V（2）35arctan10EBF【解析】试题分析：⑴根据题意可得：在1RtAAD中，高22113AAADAD∴(222323)232S22312V⑵过E作EFAD，垂足为F，连结BF，则EF平面ABCD，∵BE平面ABCD，∴EFBF∴在RtBEF中，EBF就是BE与平面ABCD所成的角∵1,EFADAAAD，∴1EFAA，又E是1AD的中点，∴EF是1AAD的中位线，∴11322EFAA在RtAFB中2222125BFAFAB∴335tan5210EBF