排队论算例

排队论算例【例题1】某排队模型为M/M/1/3/∞/FCFS，λ=2，μ=3，试求该系统各状态的概率？222333S0S1S2S3解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下：123.0)0(278)3(185.0)0(94)2(277.0)0(32)1(415.0)0(1)0(2765)0(278)0(94)0(32)0()()0(278)3()2(5)3(3)1(2)0(94)2()1(5)2(3)0(2)0(32)1()1(3)0(230PPPPPPPPPPPPiPPPPPPPPPPPPPPPi由正则条件知：【例题2】某状态转移图如下示，试求其状态指标？S1S3S2S4221213解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下：245)1(5)4(41)1(6)3(21)1(12)2(241)1(1)1(24)1(5)1(6)1(12)1()()1(5)4()1(6)3()1(12)2()1()1()1(3)3(2)4(1)4(2)2(1)3(2)4(2)1(2)2(1)4(1)1(3)1(241PPPPPPPPPPPPiPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPi由正则条件知：解得：【例题3】生灭过程图如下示，试求M/M/1/4∞排队系统的状态指标（λ=2辆/h，μ=3辆/h）？S032S3S2S1332223S4解：先根据每个状态的平衡条件建立状态方程组如下，并计算出状态指标：076.0)0(8116)4(114.0)0(278)3(171.0)0(94)2(256.0)0(32)1(384.0)0(1)0(81211)0(8116)0(278)0(94)0(32)0()()0(8116)3(32)4()4(3)3(2)0(278)3()2(5)3(3)1(2)0(94)2()1(5)2(3)0(2)0(32)1()1(3)0(240PPPPPPPPPPPPPPPiPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPi由正则条件知：【例题4】求解下列生灭过程的状态指标？解：系统容量有限，即最多可同时容纳3个顾客。系统中可能容纳0个、1个、2个和3个顾客，即有4个状态。对于状态0S有：1032PP，即：0132PP对于状态1S有：120542PPP，即：0231PP对于状态3S有：3232PP，即：0192PP由正则条件可知，13210PPPP，即：45.00P故有：30.00P、15.02P、10.03P。【例题5】某公路收费入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆汽车的交费时间为7.2s，汽车的到达率为400辆/h，服从泊松分布。试求：（1）收费亭空闲的概率；（2）收费亭前没有车辆排队的概率；（3）收费亭前排队长度超过100m（即排队车辆超过12辆）的概率；（4）平均排队长度；（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值；（6）车辆的平均排队时间？解：显然这是一个M/M/1//排队系统，收费亭是服务台，汽车是顾客，汽车向收2223S0S1S2S343费亭交费便是接受服务。400辆/h，hs/500/2.71辆辆；服务强度18.0500400，故排队系统是稳定的。（1）收费亭空闲的概率：收费亭空闲的概率即为系统中没有车辆到达的概率0P，即：%202.010P（2）收费亭前没有车辆排队的概率当系统中没有车辆或只有一辆车辆（这辆车正在被服务时），便没有车辆排队。即没有车辆排队的概率为：%3636.08.02.02.0)1(10PPP（3）收费亭前排队长度超过100m（即排队车辆超过12辆）的概率排队长度超过100m的概率即为排队车辆超过12辆的概率，也即是系统中车辆超过13辆的概率。%4.48.0)1(1)1()1()1(1)1(1)13(1)13(141414140130iiPP（4）平均排队长度辆2.38.01)8.0(122q（5）车辆通过收费亭所花费时间的平均值辆/3636004008.02.3snd（6）车辆的平均排队时间辆/8.2836004002.3sqw【例题6】某高速公路入口处设有一收费站，车辆到达该站是随机的，单向车流量为300辆/h，收费员平均每10s完成一次收费并放行一辆汽车，符合负指数分布。试估计检查站上排队系统的平均车辆数、平均排队长度、平均逗留时间和平均等待时间？解：显然这是一个M/M/1//排队系统。300辆/h，hs/360/101辆辆服务强度：165360300，故排队系统是稳定的系统中的平均车辆数：辆5651651n平均排队长度：辆17.4651)65(122q系统中的平均消耗时间：辆/6036003005snd系统中的平均等待时间：辆/5010601sdqw【例题7】某大桥在维持交通的情况下进行修建，车辆上、下桥由交警指挥行驶，平均每辆车下桥时间为9s，如果桥上单方向来车的交通量为300辆/h，试分析桥上的排队情况？解：显然这是一个M/M/1//排队系统300辆/h，hs/400/91辆辆服务强度：175.0400300，故排队系统是稳定的系统中的平均车辆数：辆375.0175.01n平均排队长度：辆25.275.01)75.0(122q系统中的平均消耗时间：辆/3636003003snd系统中的平均等待时间：辆/27936/1/sdqw【例题8】拟修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布设一个出入道。据调查每小时有72辆车到达，车辆到达服从泊松分布，每辆车的服务时间服从负指数分布，若出入道长度能容纳5辆车，问是否合适？解：显然这是一个M/M/1排队系统72辆/h，h/120辆，服务强度：16.012072，排队系统稳定。系统中的平均车辆数：辆辆55.16.016.01n，该数量应该是合适的，现具体计算如下。因出入道存车量为5辆，如果存车量超过5辆的概率很小，那么数量是合适的，反之则不合适。4.06.011)0(P；24.0)6.01(6.0)1()1(11P；144.04.06.0)1()2(22P；0864.04.06.0)1()3(33P；05184.04.06.0)1()4(44P；0311.04.06.0)1()5(55P；05.0)(1)5(50iiPP，小概率事件，通常认为不会发生，即此数量是合适的。【例题9】某市区有一汽车加油站，站上服务台平均36s处理一辆汽车，加油时间服从负指数分布，汽车到加油站加油的到达率为80辆/h，并服从泊松分布。当等待加油的汽车超过10辆（即排队长度超过80m）时，将影响加油站附近街道的正常交通，因而规定排队汽车不得超过10辆。试求：（1）加油站空闲的概率？（2）汽车来加油但因排队已满而被拒绝的概率？（3）在系统中的平均顾客数？（4）平均排队长度？（5）汽车在整个加油过程中所花的时间？（6）汽车的排队等候时间？解：该系统为M/M/1//m/FCFS，并且101m，即：11m。80辆/h，100363600辆/h，18.010080（1）加油站空闲的概率215.08.018.01111210mP（2）汽车被拒绝加油的概率汽车被拒绝的概率就是系统饱和时的状态概率mP，即：0.0188.08.018.011111121mmmP，即约2%的汽车因队满而被拒绝加油。（3）系统中的平均车辆数11.38.018.0128.018.01)1(1121211mmmn辆（4）平均排队长度33.2215.0111.3)1(0Pnq辆（5）汽车在整个加油过程中花费的时间有效到达率：5.78)215.01(100]1[0Pe辆/hshnde14404.05.7811.3（6）汽车排队等候时间sdw108361441【例题10】单人理发馆有6个椅子接待人们排队等待理发，当6个椅子都坐满时，后来的顾客就不进店而离开，顾客的平均到达率为3人/h，理发需时平均15min，求该排队系统的状态指标和运行指标？解：有6个椅子等待人们排队，同时正在理发的有一个顾客，即整个系统中最多能容纳6+1＝7人，即7m。3人/h，41560人/h，175.043（1）某一顾客一到达就能理发的概率，即系统中有零个顾客的概率2778.075.0175.0111810mP75.02778.0nnP%7.375.02778.070mmPP，即有3.7％的顾客不等待就离开，这同时也是理发馆的一种损失。（2）系统运行指标的计算平均顾客数：11.275.0175.0875.0175.01)1(18811mmmn人平均排队长度：39.12778.0111.2)1(0Pnq（3）有效到达率048.0)2778.01(151]1[0Pe人/min（4）时间的计算平均逗留时间：min44048.011.2end平均排队时间：min2915441dw对于上述问题，如果采用标准的M/M/1排队系统来处理的话，其计算结果如下：175.043，排队系统稳定。25.075.0110P，nnnP75.025.0)1(375.0175.01n人，25.275.0175.0122qmin60133hnd，min4575.0325.2hqw现将M/M/1//7/FCFS排队系统和M/M/1///FCFS排队系统比较如下：3人/hnqdw0P可能到达的顾客中有多少离开4人/h有限队长为72.111.3944290.2783.7%无限队长32.2560450.250%【例题11】求M/M/1//4/排队系统的状态指标及运行指标（2、3，单位：辆/h）解：对于系统状态数较少的排队系统，直接从定义出发求状态指标和运行指标也是很方便的。如本例中仅有5个状态，应用定义法来进行求解。首先根据平衡条件列出状态平衡方程并求解状态概率。43231120103253253232PPPPPPPPPP，利用正则条件140iiP可得：076.0114.0171.0256.0384.043210PPPPP运行指标：244.1432104321040PPPPPiPnii辆627.03210)1(432141PPPPiPqii辆848.1)384.01(3)1(0Pe辆/hhnd673.0848.1244.1，hqw339.0848.1627.0【例题12】某汽车修理服务站，前来修理的车辆是随机到达的，到达率为4辆/h，每辆汽车在场上修理的持续时间平均为0.5h，且服从指数分布。该站有5个修理服务台可供停车修理，求该汽车修理服务站的运行特性？解：显然该服务站的服务系统为M/M/s//系统。并且有：5s，4辆/