[2020理数]第四章--第五节-三角恒等变换

第五节三角恒等变换[考纲要求]1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．2．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．突破点一三角函数求值1突破点二三角恒等变换的综合问题2课时跟踪检测3Contents返回突破点一三角函数求值返回抓牢双基·自学回扣[基本知识]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α＋β)cos(α＋β)＝S(α－β)sin(α－β)＝S(α＋β)sin(α＋β)＝T(α－β)tan(α－β)＝______________；变形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)T(α＋β)tan(α＋β)＝______________；变形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβtanα－tanβ1＋tanαtanβtanα＋tanβ1－tanαtanβ返回2.二倍角公式S2αsin2α＝；变形：1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2C2αcos2α＝＝＝__；变形：cos2α＝__________，sin2α＝__________T2αtan2α＝__________2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α1＋cos2α21－cos2α22tanα1－tan2α返回[基本能力]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．()(2)在锐角△ABC中，sinAsinB和cosAcosB大小不确定．()(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．()(4)公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×返回二、填空题1．已知tanα＝2，则tanα－π4＝________.解析：∵tanα＝2，∴tanα－π4＝tanα－11＋tanα＝13.答案：13返回2．化简cos18°cos42°－cos72°sin42°的值为________．解析：法一：原式＝cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos(18°＋42°)＝cos60°＝12.法二：原式＝sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.答案：12返回3.3cos15°－4sin215°cos15°＝________.解析：3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°·sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos45°＝2.答案：24．设sinα＝2cosα，则tan2α的值为________．解析：由题可知，tanα＝sinαcosα＝2，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43.答案：－43返回研透高考·深化提能[全析考法]考法一三角函数式的化简求值1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．返回[例1](1)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32[解析]sin47°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12.[答案]C返回(2)化简：2cos2α－12tanπ4－αsin2π4＋α＝________.[解析]法一：原式＝cos2α－sin2α2×1－tanα1＋tanαsinπ4cosα＋cosπ4sinα2＝cos2α－sin2α1＋tanα1－tanαcosα＋sinα2＝cos2α－sin2α1＋sinαcosα1－sinαcosαcosα＋sinα2＝1.法二：原式＝cos2α2tanπ4－αcos2π4－α＝cos2α2sinπ4－αcosπ4－α＝cos2αsinπ2－2α＝cos2αcos2α＝1.[答案]1返回[方法技巧]三角函数式的化简要遵循“三看”原则返回考法二三角函数的给值求值(角)[例2]（1）(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin32π＋2β＝()A．－12B.12C．－32D.32返回[解析]∵α，β均为锐角，∴0α＋βπ.∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.∴sin32π＋2β＝－cos2β＝1－2cos2β＝12.故选B.[答案]B返回(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，且sinB＝1010，则A＋B＝()A.3π4B.5π4C.7π4D.7π6返回[解析]因为sin2A2＋cosA＋π3＝5－1510，所以1－cosA2＋12cosA－32sinA＝5－1510，即12－32sinA＝5－1510，解得sinA＝55.因为A为钝角，所以cosA＝－1－sin2A＝－1－552＝－255.由sinB＝1010，且B为钝角，可得cosB＝－1－sin2B＝－1－10102＝－31010.返回所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－255×－31010－55×1010＝22.又A，B都为钝角，即A，B∈π2，π，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝7π4，故选C.[答案]C返回[方法技巧]1．给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．返回2．给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．返回[集训冲关]1.[考法二]已知sin2α＝23，则cos2α＋π4＝()A.16B.13C.12D.23解析：∵sin2α＝23，∴cos2α＋π4＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16.故选A.答案：A返回2.[考法一](1＋tan18°)·(1＋tan27°)的值是()A.3B．1＋2C．2D．2(tan18°＋tan27°)解析：(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°·tan27°＝2.故选C.答案：C返回3.[考法二]若cosπ8－α＝16，则cos3π4＋2α的值为()A.1718B．－1718C.1819D．－1819解析：∵cosπ8－α＝16，∴cosπ4－2α＝2cos2π8－α－1＝2×162－1＝－1718，∴cos(3π4＋2α)＝cosπ－π4－2α＝－cosπ4－2α＝1718.故选A.答案：A返回4.[考法二]定义运算acbd＝ad－bc.若cosα＝17，sinαcosαsinβcosβ＝3314，0βαπ2，则β＝________.解析：依题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝3314.又0βαπ2，∴0α－βπ2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cosα＝17，∴sinα＝437，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32，故β＝π3.答案：π3返回突破点二三角恒等变换的综合问题返回利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．返回[典例](2019·北京朝阳期末)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2－cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈0，π2时，f(x)≥0.[解]（1）因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin2x－cos2x＝2sin2x－π4＋1，所以函数f(x)的最小正周期为π.返回(2)证明：由(1)可知，f(x)＝2sin2x－π4＋1.当x∈0，π2时，2x－π4∈－π4，3π4，sin2x－π4∈－22，1，2sin2x－π4＋1∈[0，2＋1]．当2x－π4＝－π4，即x＝0时，f(x)取得最小值0.所以当x∈0，π2时，f(x)≥0.返回[方法技巧]求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；(2)利用公式T＝2πω(ω0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．返回(2019·襄阳四校期中联考)设函数f(x)＝cosπ2－xcosx－sin2(π－x)－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；[针对训练]解：∵f(x)＝sinxcosx－sin2x－12＝12(sin2x＋cos2x)－1＝22sin2x＋π4－1，∴f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.返回(2)若f(α)＝3210－1，且α∈π8，3π8，求fα－π8的值．解：∵f(α)＝22sin2α＋π4－1＝3210－1，∴sin2α＋π4＝35.由α∈π8，3π8知2α＋π4∈