实变函数复习题

1.若E有界,则m*E正无穷2.可数点集的外测度为零3.设E是直线上一有界集合,m*E0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En5.若m*E=0，则E可测。6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为07.设A，B包含于Rp，且m*B正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A交B）8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m（G-E）〈e，m（E-F）〈e9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--0(n--无穷)，则E可测。10.设是一列可测集，证明和都是可测集且11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）正无穷，证明m（En上极限）=012.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A）13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。次可数可加性证明卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？2.设{fn}为E上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的。散点集也是可测的。3.设E是[0，1]中的不可测集，令问f（x）在[0，1]上是否可测？|f（x）|是否可测？4.设fn（x）（n=1，2，...）是E上a.e.有限的可测函数列，而{fn}a.e.收敛于有限函数f，则对任意的e0存在常数c与可测集E0包含于E，m（E\E0）e,使在E0上对一切n有|fn（x）|=c.这里mE无穷。6.设f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为[a，b]上的可测函数，则f（g（x））是可测函数。7.设函数列fn（x）（n=1，2，...）在有界集E上“基本上”一致收敛于f（x），证明{fn}a.e.收敛于f。，叶果洛夫逆定理8.试证明鲁津定理的逆定理成立。鲁津定理9.设函数列{fn}在E上依测度收敛于f，且fn（x）=g（x）a.e.于E，n=1，2，...。试证f（x）=g（x）在E上几乎处处成立。10.设在E上fn（x）推出f（x），且fn（x）=fn+1（x）几乎处处成立，n=1，2，...，则几乎处处有fn（x）收敛于f(x)。11.设在E上fn（x）推出f（x），而fn（x）=fn（x）a.e.成立，n=1，2，...，则有gn（x）推出f（x）12.设mE正无穷，证明：在E上fn（x）推出f（x）的充要条件是，对于{fn}的任何子函数列{fnk}，存在{fnk}的子函数列{fnkj}，使得a.e.于E13.设mE无穷，几乎处处有限的可测函数列fn（x）和gn（x），分别依测度收敛于f（x）和g（x），证明叶果洛夫定理例3：设E包含于R1，f（x）是E上a.e.有限的可测函数。证明：存在定义在R1上的一列连续函数{gn}，使得极限gn（x）=f（x）a.e.与E。定理3：设fn（x）依测度收敛于f（x），fn（x）依测度收敛于g（x），则f（x）=g（x）在E上几乎处处成立。设{fn（x）}是E上一列可测函数，则F（x）=也在E上可测，特别当存在时，它也在E上可测。可测函数与简单函数的关系若f（x）在E上非负可测，则存在可测简单函数列是的对任意若f（x）在E上可测，则存在可测简单函数列，使得对任意若f（x）还在E上有界，则上述收敛可以是一致的。勒贝格里斯定理2.设在康托尔（Cantor）集P0上定义函数f（x）=0，而在P0的余集中长为1/3^n的构成区间上定义为n，试证f(x)可积分，并求出积分值。3.设E可测，f（x）在E上可积，en=E（|f|=n）则n*men在n的极限=06.设{fn}为E上非负可积函数列，若则f(x)依测度收敛与0.7.设mE无穷，{fn}为a.e.有限可测函数列。证明：的充要条件是fn（x）依测度收敛与09.设由[0,1]中取出n个可测子集E1,E2,...,En，假定[0，1]中任一点至少属于这n个集中的q个，试证必有一集，它的测度大于或等于q/n。10.设mE不等于0，f（x）在E上可积，如果对于任何有界可测函数，都有则f（x）=0a.e.于E。11.证明：12.试从1/1+x=(1-x)+(x^2+x^3)+...,0x1求证ln2=1-1/2+1/3-1/4+...14.求证17.设f（x），fn（x）都是E上的可积函数，极限fn（x）=f（x）a.e.于E，且试证，在任意可测子集e包含与E上，都有在一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，主要是因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。设f（x）是[a，b]上的一个有界函数，则f（x）在[a,b]上R可积的充要条件为f（x）在[a,b]上a.e.连续，即f（x）的不连续点全体成一零测度集。设f（x）是[a，b]上的一个有界函数，若f（x）在[a,b]上R可积，则f（x）在[a,b]上L可积，且设f属于L[a,b]，则对于任意的e0,存在g属于C[a，b]，使得列维定理levi设为可测集，为E上的一列非负可测函数，当x属于E时对于任一自然数n，有fn（x）=fn+1（x），令则法图引理fatou一般可测函数的勒贝格积分（做题用）积分的绝对连续性设为可测集则对于任意的存在使得对于任意的可测集，只要mA就有勒贝格控制收敛定理：设为可测集为E上的一列可测函数。F是E上的非负L可积函数，如果对于任意的自然数n设为可测集，f和fn都是E上的可测函数，F是E上的非负L可积函数，如果|fn（x）|=F（x）a.e.与E且推论：设EmE正无穷，f和fn都是E上的可测函数，如果存在M0使得对于任意的自然数n，|fn（x）|=Ma.e.于E且