作加速运动宇宙飞船问题中的瞬时惯性系(高端物理竞赛题)20110821教案

1作加速运动飞船问题中的瞬时惯性系（物理竞赛高端题）【问题】宇宙飞船从地球出发沿直线飞向某恒星，恒星距地球4310rly（光年）。对每一瞬时都与飞船连接在一起的参照系来讲，前一半路程作匀加速直线运动，加速度2'10/ams，后一半路程以数值相同的加速度作匀减速直线运动。试问：在飞船上测量整个旅程经历了多少时间？计算时只取一级近似。【分析】问题涉及到两个参照系：与地球相连的惯性系以及与飞船相连的非惯性系'；基于飞船相对于速度时刻在变化，因此，'不是一个惯性系，但是可以将'等价地看作一系列“瞬时惯性系”的组合，也就是说，在每一瞬刻的极短时间内，'可看作相对于地球作匀速直线运动，因此，在此极短时间内，'可看作惯性系，这种对某一瞬刻的极短时间内的准惯性系称为“瞬时惯性系”，这样，狭义相对论的公式可用。这是“微元法”在相对论中的妙用。设在“飞船时刻”'t，飞船相对于地球的速度为u，也即'相对于的运动速度为u，此时飞船相对于'的速度'0u。经极短时间'dt后，飞船相对于原来的'的速度增量为'du，相应的加速度为2''10/'duamsdt。对地球惯性系而言，与'du相对应的速度增量为du。利用速度变换公式可以找到du与'du之间的关系，进而确定飞船在地球惯性系中加速度a与在飞船惯性系'中加速度'a之间的关系，通过积分运算可求得全程所需的地球时间，再利用时间膨胀公式进而求得相应的飞船时间。综上所述，当动参照系为一非惯性系时，无法直接用仅对两惯性成立的的狭义相对论公式，但是可以将全旅程分割成无限小的单元的组合，在每一无限小单元中，动参照系可以看作惯性系—瞬时惯性系，可以应用狭义相对论公式处理，然后再对每一单元进行累加，也就是说积分就可求得全旅程需要的时间了！【解】设在地球时刻t，飞船的速度为u，因为'系与此时的飞船相连，故动系'中飞船的速度为'0u，同时，'相对于地球系的速度也是u（即速度变换公式中的v）。经时间dt后，u的增量为du，即在中飞船的速度变为udu，相应地在'系中飞船的速度增量为'du，因此，其速度变为0'du。由速度变换公式知，2'......(1)'1uduuduuduC注：速度变换公式：''21xxxuvuuvC，今',0'',xxvuuuduududu，于是得（1）式或2'()(1)'......(1')uduuduuduC，根据题意，只保留一级无穷小量，得221',()......(2)1ududuC由时间膨胀公式得22''1......(3)1dtdtdtdt由（2）、（3）式得23/2'1......(4)'(1)dududtdt由加速度的定义知：'','duduaadtdt分别为在'系（飞船系）与系（地球系）中的加速度。这样就求得了加速度的变换公式：23/2(1)'......(5)aa值得提醒的是，上式中2'10/ams为一恒量，但a却不是一个恒量。为求得全旅程所需的时间，改写（5）式，23/22'......(6)(1)duadtuC对（6）式两边积分，并注意到初始条件：0,0tu，得2003/22''......(7)(1)utduadtatuC为求出上式左边的积分，作变量置换：令sinuC，则cos,duCd23/223/232(1)(1sin)cos;:0,:0arcsin()uuuuCC，提醒一下，为表述简便起见，式中的u既是积分变量，又是积分上限，于是arcsinarcsinarcsin22300003/22cossectantan(arcsin)cos(1)uuuuCCCduCduCdCCuCC注意到2sinsintancos1sin，同时sin(arcsin)，所以，3203/22222sin(arcsin)tan(arcsin)......(8)(1)1sin(arcsin)1()1()uuuduuuCCCCCuCuuuCCCC于是有22'......(9)1uatuC由（9）式不难解得2'......(10)'1()atuatC因为dxudt，所以（10）可改写为2'......(11)'1()atdtdxatC再次对上式两边积分，并利用初始条件：0,0tx，得002'......(12)'1()xtatdtdxatC左边积分0xdx=x，右边积分为222222220002220''()[1()]'''2'21()[1()1]2'2'''''1()1()1()ttttCatatddatdtCCatCataCCaaCaCatatatCCC，于是有22'[1()1]......(13)'CatxaC由上式可以解出221......(14)'xCtCax但飞船完成前半程飞行时，2rx，所需的地球时间由（14）式得4241......(15)2'rCTCar由（3）、（9）式知，(3)(9)2'1()......(16)'uudtdtdtCat再因（10）式：2''1()atuatC，可将（16）式中u替代掉，得2'......(17)'1()dtdtatC对上式的两边再积分，同时注意到，在'中，':0'tT，相应地在中，:0tT，得'002'......(18)'1()TTdtdtatC左边积分为'0'Tdt'T，右边积分为02'1()TdtatC，再作变量置换：可令22''tansec,1()sec,:0arctan()''CCaaTtdtdtaaCC则2'''arctan()arctan()arctan()00002sec'seclnsectansec'''1()aTaTaTTCCCCddtCCadaaatC2''''[lnsec(arctan)ln(10)][ln1()]''CaTaTCaTaTaCCaCC因此有2''''ln[1()]......(19)aaTaTTCCC上式中,'TT分别代表飞船走完半程所需要的地球时间与飞船时间，因为前半程的加速过程雨后半程的减速过程所需要的时间相同，所以，飞船走完全程所需要的时间为22'''2'ln[1()]......(20)aaTaTTCCC5将题给数据：42310,'10/rlyams代入（15）式，得24882(15)8484824-448443103652436003104(310)11()2'231010310365243600(310)3104(310)1()=1.5101+1.2710210310365243600(310)1.510rCTCarT秒年（年）（年）......(21)再求2'T：注意到纯数4428'101.510365243600''1.5810,1()310aTaTaTCCC8274782''23102'2'ln[1()]()ln[]610ln(3.1610)'102'61010.36()6.2161019.7CaTaTaTTaCCCT秒（秒）（秒）秒（秒）（年）......(22)【讨论】在中测到的飞船完成全旅程需要的时间，也就是“地球时间”为(21)42310T年；但是，在'中测到的飞船完成全旅程需要的时间，也就是“飞船时间”却为(22)2'19.7T年，两者相差甚远！这就是为什么孪生哥哥乘飞船去了某一星球再折回地球，哥哥依然是风度翩翩的英俊少年，而一直耽在地球上的弟弟却已经是步履蹒跚的垂暮老翁了的道理。通常将这种现象称为“孪生子效应”，是相对论中十分热门的话题。注：在求得（19）式的过程中，利用了下列积分公式：seclnsectanxdxxxC其中C微积分常数。那是因为2sec(sectan)secsectan(tan)(sec)secsectansectansectan(sectan)lnsectansectanxxxxdxxxdxdxdxxdxdxxxxxxxdxxxxCxx而定积分与不定积分的关系是：()()()()bbaafxdxFxFbFa这就是著名的牛顿—莱布尼茨公式，()fx为被积函数（或导函数），()Fx为原函数。