高三理科数学一轮总复习第八章-直线和圆的方程(教师用书)

第八章直线和圆的方程高考导航考试要求重难点击命题展望1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率的计算公式.3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.4.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.5.掌握用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离.7.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.8.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.9.能用直线和圆的方程解决简单的问题.10.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.11.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式.本章重点：1.倾斜角和斜率的概念；2.根据斜率判定两条直线平行与垂直；3.直线的点斜式方程、一般式方程；4.两条直线的交点坐标；5.点到直线的距离和两条平行直线间的距离的求法；6.圆的标准方程与一般方程；7.能根据给定直线，圆的方程，判断直线与圆的位置关系；8.运用数形结合的思想和代数方法解决几何问题.本章难点：1.直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；2.根据斜率判定两条直线的位置关系；3.直线方程的应用；4.点到直线的距离公式的推导；5.圆的方程的应用；6.直线与圆的方程的综合应用.本章内容常常与不等式、函数、向量、圆锥曲线等知识结合起来考查.直线和圆的考查，一般以选择题、填空题的形式出现，属于容易题和中档题；如果和圆锥曲线一起考查，难度比较大.同时，对空间直角坐标系的考查难度不大，一般为选择题或者填空题.本章知识点的考查侧重考学生的综合分析问题、解决问题的能力，以及函数思想和数形结合的能力等.知识网络8.1直线与方程典例精析题型一直线的倾斜角【例1】直线2xcosα－y－3＝0，α∈[π6，π3]的倾斜角的变化范围是()A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，由于α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤32，k＝2cosα∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]，由于θ∈[0，π)，所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]，故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m＋3，m)，N(m－2,1)，当m∈时，直线MN的倾斜角为锐角；当m＝时，直线MN的倾斜角为直角；当m∈时，直线MN的倾斜角为钝角.【解析】直线MN的倾斜角为锐角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＞0⇒m＜－5或m＞1；直线MN的倾斜角为直角时，2m＋3＝m－2⇒m＝－5；直线MN的倾斜角为钝角时，k＝m－12m＋3－m＋2＝m－1m＋5＜0⇒－5＜m＜1.题型二直线的斜率【例2】已知A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，求直线l的斜率.【解析】由于A(－1，－5)，B(3，－2)，所以kAB＝－2＋53＋1＝34，设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝34，l的倾斜角为2θ，tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2×341－(34)2＝247.所以直线l的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念，应熟练地掌握这两个概念，扎实地记住计算公式，倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l的倾斜角，且有sinα＋cosα＝15，则直线l的斜率为()A.34B.43C.－43D.－34或－43【解析】选C.sinα＋cosα＝15⇒sinαcosα＝－1225＜0⇒sinα＝45，cosα＝－35或cosα＝45，sinα＝－35(舍去)，故直线l的斜率k＝tanα＝sinαcosα＝－43.题型三直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2)，且在两坐标轴上截距相等；(2)直线过点(2,1)，且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时，直线过原点，直线方程是2x－3y＝0；当截距不为0时，设方程为xa＋ya＝1，把(3,2)代入，得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.故所求直线方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)当斜率不存在时，直线方程x－2＝0合题意；当斜率存在时，则设直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，所以|1－2k|k2＋1＝2，解得k＝－34，方程为3x＋4y－10＝0.故所求直线方程为x－2＝0或3x＋4y－10＝0.【点拨】截距可以为0，斜率也可以不存在，故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P(3，－4)，且横、纵截距互为相反数的直线方程.【解析】当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx.因为直线过点P(3，－4)，所以－4＝3k，得k＝－43.此时直线方程为y＝－43x.当横、纵截距都不是0时，设直线的方程为xa＋y－a＝1，因为直线过点P(3，－4)，所以a＝3＋4＝7.此时方程为x－y－7＝0.综上，所求直线方程为4x＋3y＝0或x－y－7＝0.题型四直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l分别交x、y轴的正半轴于A、B两点，点O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程.【解析】方法一：设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，由于点P在直线上，所以2a＋1b＝1.2a·1b≤(2a＋1b2)2＝14，当2a＝1b＝12时，即a＝4，b＝2时，1a·1b取最大值18，即S△AOB＝12ab取最小值4，所求的直线方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0.方法二：设直线方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，直线与x轴的交点为A(2k－1k，0)，直线与y轴的交点为B(0，－2k＋1)，由题意知2k－1＜0，k＜0,1－2k＞0.S△AOB＝12(1－2k)·2k－1k＝12[(－1k)＋(－4k)＋4]≥12[2(－1k)·(－4k)＋4]＝4.当－1k＝－4k，即k＝－12时，S△AOB有最小值，所求的直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.【点拨】求直线方程，若已知直线过定点，一般考虑点斜式；若已知直线过两点，一般考虑两点式；若已知直线与两坐标轴相交，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l：mx－(m2＋1)y＝4m(m∈R).求直线l的斜率的取值范围.【解析】由直线l的方程得其斜率k＝mm2＋1.若m＝0，则k＝0；若m＞0，则k＝1m＋1m≤12m·1m＝12，所以0＜k≤12；若m＜0，则k＝1m＋1m＝－1－m－1m≥－12(－m)(－1m)＝－12，所以－12≤k＜0.综上，－12≤k≤12.总结提高1.求斜率一般有两种类型：其一，已知直线上两点，根据k＝y2－y1x2－x1求斜率；其二，已知倾斜角α或α的三角函数值，根据k＝tanα求斜率，但要注意斜率不存在时的情形.2.求倾斜角时，要注意直线倾斜角的范围是[0，π).3.求直线方程时，应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式，应注意是否漏掉过原点的直线；设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线.8.2两条直线的位置关系典例精析题型一两直线的交点【例1】若三条直线l1：2x＋y－3＝0，l2：3x－y＋2＝0和l3：ax＋y＝0不能构成三角形，求a的值.【解析】①l3∥l1时，－a＝－2⇒a＝2；②l3∥l2时，－a＝3⇒a＝－3；③由023,032yxyx⇒,1,1yx将(－1，－1)代入ax＋y＝0⇒a＝－1.综上，a＝－1或a＝2或a＝－3时，l1、l2、l3不能构成三角形.【点拨】三条直线至少有两条平行时或三条直线相交于一点时不能构成三角形.【变式训练1】已知两条直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为P(2,3)，则过A(a1，b1)，B(a2，b2)的直线方程是.【解析】由P(2,3)为l1和l2的交点得,0132,01322211baba故A(a1，b1)，B(a2，b2)的坐标满足方程2x＋3y＋1＝0，即直线2x＋3y＋1＝0必过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点.题型二两直线位置关系的判断【例2】已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值.(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到两条直线的距离相等.【解析】(1)由已知可得l2的斜率存在，所以k2＝1－a，若k2＝0，则1－a＝0，即a＝1.因为l1⊥l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b＝0，又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，而a＝1，b＝0代入上式不成立，所以k2≠0.因为k2≠0，即k1，k2都存在，因为k2＝1－a，k1＝ab，l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即ab(1－a)＝－1，又l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0，联立上述两个方程可解得a＝2，b＝2.(2)因为l2的斜率存在，又l1∥l2，所以k1＝k2，即ab＝(1－a)，因为坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1∥l2，所以l1，l2在y轴的截距互为相反数，即4b＝b，联立上述方程解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2，所以a，b的值分别为2和－2或23和2.【点拨】运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况.求解两条直线平行或垂直有关问题时，主要是利用直线平行和垂直的充要条件，即“斜率相等”或“斜率互为负倒数”.【变式训练2】如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0，a)，B(b,0)，C(c,0).点P(0，p)是线段AO上的一点(异于端点)，这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为(1b－1c)x＋(1p－1a)y＝0，则直线OF的方程为.【解析】由截距式可得直线AB：xb＋ya＝1，直线CP：xc＋yp＝1，两式相减得(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故所求直线OF的方程为(1c－1b)x＋(1p－1a)y＝0.题型三点到直线的距离【例3】已知△ABC中，A(1,1)，B(4,2)，C(m，m)(1＜m＜4)，当△ABC的面积S最大时，求m的值.【解析】因为A(1,1)，B(4,2)，所以|AB|＝(4－1)2＋(2－1)2＝10，又因为直线AB的方程为x－3y＋2＝0，则点C(m，m)到直线AB的距离即为△ABC的高，设高为h，则h＝|m－3m＋2|12＋(－3)2，S＝12|AB|·h＝12|m－3m＋2|，令m＝t，则1＜t＜2，所以S＝12|m－3m＋2|＝12|t2－3t＋2|＝12|(t－32)2－14|，由图象可知，当t＝32时，S有最大值18，此时m＝32，所以m＝94.【点拨】运用点到直线的距离时，直线方程要化为一般形式.求最值可转化为代数问题，用处理代数问题的方法解决.【变式训练3】若动点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，求P1P2的中点P到原点的距离的最小值.【解析】方法一：因为P1、P2分别在直线l1和l2上，所以②①.015,052211yxyx(①＋②)÷2，得x1＋x22－y1＋y22－10＝0，所以P1P2的中点P(x1＋x22，y1＋y22)在直线x－y－10＝0上，点P到原点的最小距离就是原点到直线x－y－10＝0的距离d＝102＝52.所以，点P到原点的最小距离为52.方法二：设l为夹在直线l1和l2之间且和l1与l2的距离相等的直线.令l：x－y