第七章--平面解析几何初步

第七章平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2－x1|或|AB|=|y2-y1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是112121yyyxxx.当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是222121yyyxxx.3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式bkxyk为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式)(00xxkyy(00,yx)为直线上的已知点，k为直线的斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(11,yx)，(22,yx)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1a为直线的横截距b为直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式0CByAxBA，AC，BC分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k,2k都存在且1k·2k≠-1时，tanθ=21121kkkk，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l1∶11bxky，l2∶22bxky，有以下结论：①l1∥l21k=2k，且ｂ1＝ｂ2②l1⊥l21k·2k=-1（2）对于直线l1∶0111CyBxA，l2∶0222CyBxA，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：①l1∥l221AA=21BB≠21CC②l1⊥l2A1A2+B1B2=0③l1与l2相交21AA≠21BB④l1与l2重合21AA=21BB=21CC7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P（00,yx）及一条直线l：0CByAx，则点P到直线l的距离d=2200||BACByAx；（2）两平行直线l1:01CByAx，l2:02CByAx之间的距离d=2221||BACC.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（FED422＞0），圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：0CByAx；圆：022FEyDxyx.0022FEyDxyxCByAx消元一元二次方程acb42△判别式相离△相切△相交△000（2）方法二直线:0CByAx；圆：222)()(rbyax，圆心（a，b）到直线的距离为d=22||BACBbAa相交相切相离rdrdrd2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；|r1-r2||O1O2|r1+r2两圆相交；|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；0|O1O2||r1-r2|两圆内含.三、经典例题导讲［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:1byax,又过P(2,3),∴132ba,求得a=5∴直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式:1byax的条件是:a≠0且b≠0,本题忽略了0ab这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203k,∴直线方程为y=23x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x.［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3,)3()1(22yxx化简3x=x2-2x+1+y2-6y+9.当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0.①当x＜0时得x2+x+y2-6y+10=0.②错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-52)2+(y-3)2=214①和(x+12)2+(y-3)2=-34②两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解：接前面的过程,∵方程①化为(x-52)2+(y-3)2=214,方程②化为(x+12)2+(y-3)2=-34,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:(x-52)2+(y-3)2=214(x≥0)［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：A=C≠0且FA＜0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1)当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2)当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1即11k5k51k3k32k222整理得12k2-25k+12＝0解得k＝34L′的方程为y+3＝34(x+3)即4x-3y+3＝0因L和L′关于x轴对称故L的方程为4x+3y+3＝0.错因：漏解正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1即11k5k51k3k32k222整理得12k2-25k+12＝0解得k＝34或k＝43L′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L和L′关于x轴对称故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线042yx和圆014222yxyx的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx（1）因为圆过原点，所以041，即41故所求圆的方程为：0274722yxyx.（2）将圆系方程化为标准式，有：545245222222yx当其半径最小时，圆的面积最小，此时52为所求.故满足条件的圆的方程是54585422yx.点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,yx)，B(22,yx)（21xx≠0）是抛物线)0(22ppxy上的两个动点，O是坐标原点，向量OBOA,满足｜OBOA｜＝｜OBOA｜.设圆C的方程为0)()(212122yyyxxxyx（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值.解：（1）证明∵｜OBOA｜＝｜OBOA｜，∴（OBOA）2＝（OBOA）2，整理得：OBOA＝0∴21xx＋21yy＝0设M（yx,）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MBMA＝0即))((21xxxx＋))((21yyyy＝0整理得：0)()(212122yyyxxxyx故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（yx,），则222121yyyxxx∵1212pxy，)0(2222ppxy∴22221214pyyxx又∵21xx＋21yy＝0，21xx＝－21yy∴－21yy222214pyy∵21xx≠0，∴21yy≠0∴21yy＝－42p2121222122212141)2(41)(412yypyyyypyypxxx＝)2(122pyp所以圆心的轨迹方程为222ppxy设圆心C到直线02yx的距离为ｄ，则＝pppyypypyx5|)(|5|2)2(1|5|2|2222当y＝p时，ｄ有最小值5p，由题设得5p＝552∴p＝2.四、典型习题导练1．直线0323yx截圆422yx得的劣弧所对的圆心角为（）A.π6B.π4C.π3D.π22.已知直线x=a(a＞0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是()A.5B.4C.3D.23.如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2＝３，则xy的最大值为：.4.设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a9），C、D点所在直线l的斜率为31.（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；（3）如果ABCD的外接圆半径为25，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程.5.如图，已知圆C：（x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0).（1）若点D坐标为（0，3），求∠APB的正切值；（2）当点D在y轴上运