哈工大量子力学01年真题及答案(领先考研提供)

2001年量子力学考研试题一.（见2003第2题）设氢原子处于()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,YR21,YR21,YR21,,112110311021−−−=rrrr的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选{}zLLH,,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为()()(ϕθϕθϕμ,YR,,12224lmnlnlmnrrneE=−=h)其中，量子数的取值范围是lllllmnln−+−−−=−==,1,,2,1,1,,2.1,0,3,2,1LLL利用归一化条件求出归一化常数为5421412121=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=−c主量子数的可能取值只有两个，即n3,2=n，于是()()515441,1854542121,832432242=⋅=−==⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=−=EWeEEWeEhhμμ24242495118548hhheeeEμμμ−=⋅−⋅−=角动量量子数的可能取值只有一个，即l1=l，故有()222222213,2hhh====LLWL角动量磁量子数的可能取值有两个，即m0,1−=m，于是()()535441210,0525421,=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+====⋅=−=−=zzzzLELLELhhh52−=zL二.作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()xVpH+=μ2ˆˆ20时，能级是，如果哈密顿算符变成0nEμαpHHˆˆˆ0+=（α为实参数），求变化后的能级。nE解：视α为参变量，则有μαpHˆˆ=∂∂利用费曼-海尔曼定理可知npnnHnEnˆ1ˆμαα=∂∂=∂∂又知[]()αμαμ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==pppxHxtxˆ1ˆ2ˆ,i1ˆ,i1dd2hh在任何束缚态n下，均有[]0ˆˆi1ˆ,i1dd=−==nxHHxnnHxnntxnhh所以，α−=npnˆ进而得到能量本征值满足的微分方程μαα−=∂∂nE对上式作积分，得到cEn+−=μα22利用0=α时，，定出积分常数0ˆˆHH=0nEc=最后，得到Hˆ的本征值为μα220−=nnEE三.质量为μ的粒子处于如下的一维位势中()()()xVxcxV0+−=δ其中，()⎩⎨⎧≤=0,0,010xVxxV且，,求其负的能量本征值。0c01V解：当时，两个区域的波函数分别为0E()()()()0,exp0,exp21−==xxBxxxAxβψαψ其中，()hh12;2VEE+==μβμα在处，波函数的连接条件为0=x()()0021ψψ=()()()020012'1'2ψμψψhc−=−−+此即⎪⎩⎪⎨⎧=+=22hcBAμβα能量本征值满足的方程为()hcVEE2221μμμ=++对上式两端取平方，得到()1221222VEcEVE−−=+hμ再对上式两端取平方，并整理之21222228⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=VccEhhμμ四.（见习题选讲7.2）已知在2L与的共同表象中，算符的矩阵形式为zLyLˆ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=0i0i0i0i02ˆhyL求的本征值和归一化的本征矢。yLˆ解：满足的本征方程为yLˆ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⋅=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−3213210i0i0i0i02ccccccλh相应的久期方程为02i02i2i02i=−−−−−λλλhhhh将其化为023=−λλh得到三个本征值分别为hh−===321;0;λλλ将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=i2i21;10121;i2i21321ψψψ五.（类似习题选讲9.4）两个线谐振子，它们的质量皆为μ，角频率皆为ω，加上微扰项（分别为两个谐振子的坐标）后，求体系基态能量二级修正、第二激发态能量至一级修正。21ˆxxWλ−=21,xx解：体系的哈密顿算符为WHHˆˆˆ0+=其中，()()212221222210ˆ21ˆˆ21ˆxxWxxppHλμωμ−=+++=已知的解为0ˆH()()()(2121021,1xxxxnEnnnnϕϕψωα=+=h)其中，nfnnn,,3,2,1,2,1,0,,21LL==α将前三个能量与波函数具体写出来，()()2010000;xxEϕϕψω==h()()()(20111221101101,2xxxxEϕϕψϕϕψω===h)()()()(()()21112322102220122102,3xxxxxxEϕϕψϕϕψϕϕψω====h)对于基态而言，，021===nnn10=f，体系无简并。利用公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+−1,1,2121nmnmnmnnxδδαϕϕ可知()0ˆ0010==ψψWE()∑∑≠=−=010000020ˆˆnfnnnnEEWWEαααψψψψ显然，求和号中不为零的矩阵元只有20232302ˆˆαλψψψψ−==WW于是得到()22242020020841ωμλαλh−=−=EEE第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为()()()0123332312312222113121211=−−−E其中，02112332211=====αλ−====于是得到()()()21231222121;0;αλαλ==−=EEE