柯西收敛准则

2016/6/141柯西收敛准则一数列极限的柯西收敛准则p30二函数极限的柯西收敛准则三级数的柯西收敛原理p386当nN时,总有limnnxa定义只能用来验证在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？1夹逼准则,nnxy及nz满足下列条件:(1)(1,2,3)nnnyxzn则数列nx的极限存在,lim.nnxa若数列(2)lim,lim,nnnnyaza且单调有界数列必有极限.2单调有界准则limnnxa柯西列：对于数列使当n，mN时,总有如果对于任意给定的总存在正整数收敛为柯西列则称为柯西列。等价定义:对于数列使当nN时,总有如果对于任意给定的总存在正整数则称为柯西列。对任意的正数p一数列极限的柯西收敛准则时,有||,2naA||.2maA.22nmnmaaaAaAlim.0,nnaA设由极限定义，证由此推得柯西(Cauchy,A.L.1789-1857,法国),nmN当0,N收敛为柯西列例1证明数列收敛证明：当n﹥N时,,Zp对任意都有由柯西收敛准则可知,收敛2016/6/142例2证明数列发散证明：12故对对任意,npn总存在2npnnnaaaa12发散1=()2pn例31:,1,2,,nnnaarn设数列满足条件(0,1).{nra其中求证}收敛.npnaa证11nnnprrrlim0,1nnrr由于.1nrr1211nnnnnpnpaaaaaa(1)1nprrr.1nrr0,,,NnN于是故对任意p0，.1nnpnraar{na由柯西准则,}收敛.补充作业抄题利用柯西收敛原理讨论下列数列的收敛性111111()()12321nnnnpnpnp11np为偶数11111()()1231nnnnpnp11np为奇数+1+psin(1)sin22nppnnmnxx12sin1sin2sin,1,2,.222nnnxn设2{}.nx收敛求证log0,,log2N证,nN当时有11122nnp11111(1)222np122n1,2n{}.nx收敛2016/6/143当n，mN时,总有limnnxa二函数极限的柯西收敛准则lim()nfna()nxfn当n,mN时,总有lim()xfxA总有12,xxX当时，0lim()xxfxA总有100,xx当200xx时，0lim()xxfxA总有100,xx当200xx时，但是100,xx200xx，0lim()xxfx不存在12,,xx总存在尽管例1.用柯西收敛准则证明:当x→+∞时,sinxx存在极限121212sinsin11xxxxxx证明：20X=,对，取122,xx则当时，121212sinsin11xxxxxx22sinxx故存在极限sinx例2.证明:当x→+∞时,极限不存在。证明：但是122,2,2xnxn取0,X对n足够大时sinx极限不存在故12,,xXxX定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第n项nu叫做级数的一般项,次相加,简记为则称无穷级数收敛,则称无穷级数发散.三级数的柯西审敛原理使当nN时,总有对于任意给定的总存在正整数对任意的正数p12nnnpuuu2016/6/144的充要条件是:(柯西审敛原理)定理.,0,ZN时，当Nn,Zp对任意有例1解:,Zp对任意有利用柯西审敛原理判别级数当n﹥N时,,Zp对任意都有由柯西审敛原理可知,级数绝对收敛级数和条件收敛级数的性质(p397)定理1对于级数,将它的所有正项保留而1nnu1nnv1nnw,00,02nnnnnnuuuuvu,00,02nnnnnnuuuuwu(1)若级数绝对收敛,则级数都收敛;1nnu1nnv1nnw(2)若级数条件收敛,则级数都发散.1nnu1nnv1nnw成一个正项级数记的所以负项变号(乘上因子-1)而将正项换为0,也组将负项换为0,组成一个级数记为将它(1)若级数绝对收敛1nnu0,0,nnnnvuwu由可知1nnv1nnw都收敛,00,02nnnnnnuuuuvu,00,02nnnnnnuuuuwu(2)若级数条件收敛，1nnu1nnv不妨设收敛nnnwvu由可知，1nnw也收敛，111nnnnnnuvw而，1nnu所以绝对收敛2016/6/145定理2绝对收敛级数的更序级数仍绝对收敛,1nnu*1nnu且其和相同,*11nnnnuu即定理3条件收敛级数的更序级数可以收敛于任一事先给定的数，也可以发散到无穷大定理4(柯西定理)若级数和都绝对收敛,1nnu1nnvs其和分别为和,则它们各项之积按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为s证明(i)我们先证明当为收敛的正项级数的情形.考虑更序级数的部分和.因为所以,取大于所有下标后,显然有又由于正项级数,于是对一切成立按照正项级数收敛的基本定理,更序级数亦收敛,设其和为,故有,另一方面级数也可视为级数的更序级数故又有,得知1'nnu1'nnu'kS,,,,''2'121knknnuuuuuunknnn,,,21.321''2'1'nnkkSuuuuuuuSSunn1,'SSkk1'nnuSS'S,'SS1'nnu1nnu'SS(ii)再来证明为任意绝对收敛级数的情形.仍旧记级数和分别为的所有正项和所有组成的级数.由定理1知道,这两个级数都收敛,设它们的和分别是和,则有由(i)中的结论知道,的更序级数成立着这就表明了更序级数是绝对收敛的.再设和分别为级数和的更序级数由(i)的结论知道1nnu1nnv1nnw1nnuVW.,11WVuWVunnnn1nnu1'nnu,1'WVunn1'nnu1'nnv1'nnw1nnv1nnw,,11'11'而,所以这样就证明了定理.'''nnnuvw111'''nnnnnnnuvwVWu.高阶导数的概念高阶微分高阶微分的概念p158若函数()yfx的导数()yfx可导,或即()yy或22ddddddyyxxx类似地,二阶导数的导数称为三阶导数,1n阶导数的导数称为n阶导数,或()fx的二阶导数,记作的导数为依次类推,分别记作则称定义,y(4),y(),ny33d,dyx44d,dyxd,dnnyx2016/6/146的微分,定义:若函数在点的增量可表示为0x(A为不依赖于△x的常数)则称函数()yfx而记作即dyAx定理:函数在点0x即0d()yfxx在点可微,Ax称为可微的充要条件是00()()yfxxfx()Axox说明:2、若函数在开区间I内每点都可微,就称函数在I内可微.则有0d()dyfxx从而0d()dyfxx自变量的微分,x称为记作dx导数也叫作微商1、d()dyfxx在任意点处的微分记为注意：d()dyfxx仅是的函数,x高阶微分则当f二阶可导时,dy关于x的微分为一阶微分d()dyfxx是的函数,x2()(())dyddydfdxx(())dfxdx2()()fxdx2(),fxdx()fxdxdx22(),dyfxdx322()(())dyddydfxxd3().fxdx2(())ddfxx2()fxxdxd33(),dyfxdx322()(())dyddydfxdx一般地，1()nndyddy()().nnndyfxdx3().fxdx函数二阶及二阶以上的微分称为高阶微分。形式上同高阶导数统一(1)1(())nndfxdx()(),nnfxdx求n阶微分实质上就是求n阶导数.注意:()nndxdx，()nndxdx，1()nndxnxdx；例1：22.yxdy，求解：2dyxdx，222.dydx(),()yfxxt复合函数微分形式不变性d()dyfxx当x是自变量时,当x是中间变量d(())()dyfttt()dfxx22d()d;(1)yfxx当x是中间变量((),())yfxxt时,二阶微分当x是自变量时,的二()yfx阶微分是对于复合函数，高阶微分形式不变性不再满足。22()d()d.(2)fxxfxx2dd(()d)()dd()d(d)yfxxfxxxfxx.0d2x22d()dxtt不一定为0,而当x为自变量时,它比(1)式多了一项2()d,fxx()xt当时,2016/6/147例222()sin,(),d.yfxxxtty设求解法12()(),sin,xtyfxyt先将代入得22222cos,2cos4sin.yttyttt于是解法2222d()d()dyfxxfxx22sindcosdxxxx2222..sin(2d)cos2dttttt2222(2cos4sin)d.tttt2()dfxx如果将漏掉就会产生错误.22222d(2cos4sin)d.ytttt作业习题2-5，8