4.1.3中职数学幂函数的应用

幂函数的应用崇阳职校熊海龙幂函数y=xa(a∈R)的定义分析：（1）x自变量是底数，定义域取值与a有关；（2）xa的系数为1；（3）xa的a∈R为常数；（4）只有一项。（5）值域由xa而定。判断幂函数的方法：1、xa的系数为1；2、xa的a∈R为常数；3、只有一项，形如：y=xa(a∈R)。回顾•幂函数的定义域•幂函数的值域•幂函数的常见图像•幂函数的单调性•幂函数的奇偶性幂函数的应用知识提升常见的幂函数及其性质和图像常见的幂函数y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1定义域RRR[0，+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0，+∞）R[0，+∞）(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性增函数在(-∞,0]上是减函数，在[0,+∞）上是增函数增函数增函数减函数定点(0,0)和(1,1)(0,0)和(1,1)(0,0)和(1,1)(0,0)和(1,1)（1,1）图像（简图）011xy0000xxxxyyyy11111111y=xy=x2y=x3y=x1/2y=x-1常见的幂函数性质•当α0时，幂函数y=xa有下列性质：a、图像都经过点（1,1）(0,0）；b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数；c、在第一象限内，α1时，导数值逐渐增大；0α1时，导数值逐渐减小，趋近于0；•当α0时，幂函数y=xa有下列性质：a、图像都通过点（1,1）；b、图像在区间（0，+∞）上是减函数；c、在第一象限内，有两条渐近线，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。•当a=0时，幂函数y=xa有下列性质：y=x0的图像是直线y=1去掉一点（0,1）它的图像不是直线。(00没有意义）xyO21xy2xy2xy3xy1xyxyy=x0。知识巩固课本例6、7指出幂函数的定义域y=x3和y=x1/2，y=x-2并且在同一坐标系中作出它们的图像。解：幂函数y=x3的定义域为x∈R.幂函数y=x1/2的定义域为[0,+∞).幂函数y=x-2的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).x…-2-1012…y=x3…-8-1018…X…01/4149…y=x1/2…01/2123…xy011y=x1/2y=x3X…1/212…y=x-2…411/4…y=x-2巩固知识-----补充例题例1、利用函数的单调性判断各值的大小。(1)5.20.8和5.30.8(2)0.20.3和0.30.3解：(1)y=x0.8在(0,+∞)是增函数。∵5.2＜5.3∴5.20.8＜5.30.8(2)y=x0.3在(0,+∞)是增函数。∵0.2＜0.3∴0.20.3＜0.30.3练一练比较下列各组数的大小：(1)3-5/2和3.1-5/2(2)87/8和(1/9)7/8(3)31.4和51.5(4)(-2/3)-3和(-3/5)-3小结：利用函数的单调性（增减性）比较实数的大小（1）若能化成同指数，利用幂函数的单调性。（2）若能化成同底数，利用指数函数的单调性。（3）若不能直接比较时，可以在两个数的中间插入一个数，再间接比较两个实数的大小。巩固知识-----补充例题例3已知函数则当m为何值时，是(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数？2212.mmfxmmx解（1）∵正比例函数y=kx(k为常数，k≠0，指数为1)。∴m2+2m≠0,m2+m-1=1解得：m=1∴m=1时，是正比例函数.(2)∵反比例函数y=kx-1(k为常数，k≠0，指数为-1)。∴m2+2m≠0,m2+m-1=-1解得：m=-1∴m=-1时，是反比例函数.（3∵幂函数y=xa(xa的系数为1,a为实数)。∴m2+2m=1解得：m=-1±√2所以，m==-1±√2时，是幂函数求根的公式x=(-b±√(b2-4ac))/2a巩固知识-----补充例题•证明幂函数f(x)=√x在[0,+∞)是增函数。考点：函数单调性的判断与证明、函数的性质及应用分析：运用定义法证明函数的单调性，注意取值、作差、作商、变形、定符号和下结论几个步骤．证明一：作差法，设0≤m＜n，则：f（m）-f（n）=√m-√n=(√m-√n)(√m+√n)／√m+√n=m-n／√m+√n，由于0≤m＜n，则m-n＜0，√m+√n＞0，则f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n）．故：幂函数f（x）=√x在[0，+∞）上是增函数．证明二：作商法，设0≤m＜n，则：f(m)/f(n)=√m／√n=√m/n＜1即有f（m）＜f（n）故：幂函数f（x）=√x在[0，+∞）上是增函数．作业1、若函数f(x)=(m-2)xm-7/2是幂函数，①求m的值；②求该函数的定义域；③判断该幂函数的奇偶性和单调性。2、已知函数则当m为何值时是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数？3、证明幂函数f(x)=√x在[0,+∞)是增函数。2212.mmfxmmx