2019高中数学第二章平面向量单元测试(二)新人教A版必修4

第二章平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．设3,sin2a，1cos,3b，且∥ab，则锐角为（）A．30B．60C．75D．452．下列命题正确的是（）A．单位向量都相等B．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线C．若|a＋b|＝|a－b|，则a·b＝0D．若a与b都是单位向量，则a·b＝1．3．设向量2,3amm，21,2bmm，若a与b的夹角大于90°，则实数m的取值范围是（）A．4,23B．4,2,3C．42,3D．4,2,34．平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若2,4AB，1,3AC，则ADBD等于（）A．8B．6C．8D．65．已知1a，6b，2aba，则向量a与向量b的夹角是（）A．6B．4C．3D．26．关于平面向量a，b，c，有下列四个命题：①若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa；②若a·b＝0，则a＝0或b＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c＝λa＋μb；④若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)．其中正确的命题是（）A．①③B．①④C．②③D．②④7．已知|a|＝5，|b|＝3，且12ab=，则向量a在向量b上的投影等于（）A．4B．4C．125D．1258．设O，A，M，B为平面上四点，1OMOBOA，且1,2，则（）A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线9．P是△ABC内的一点，13APABAC，则△ABC的面积与△ABP的面积之比为（）A．32B．2C．3D．610．在△ABC中，2ARRB，2CPPR，若APmABnAC，则mn等于（）A．23B．79C．89D．111．已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·(b＋c)等于（）A．45B．35C．0D．3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np．下面说法错误的是（）A．若a与b共线，则a⊙b＝0B．a⊙b＝b⊙aC．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量4,7c=共线，则λ＝________．14．a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________．15．已知向量a＝(6,2)，14,2b，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．16．已知向量2,1OP，1,7OA，5,1OB，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则MAMB的最小值为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，以向量OAa，OBb为边作AOBD，又13BMBC，13CNCD，用a，b表示OM、ON、MN．18．(12分)已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：（1）(a－2b)·(a＋b)；（2）|a＋b|；（3）|3a－4b|．19．(12分)已知3,1a，13,22b，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求2ktt的最小值．20．(12分)设2,5OA，3,1OB，6,3OC．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OAa，OBb，OPma，OQnb．求证：113mn．2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．【答案】D【解析】31sincos23，sin21，290，45．故选D．2．【答案】C【解析】∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b，|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，||abab．∴0ab=．故选C．3．【答案】A【解析】∵a与b的夹角大于90°，∴0ab，∴221320mmmm，即23280mm，∴423m．故选A．4．【答案】A【解析】∵1,1ADBCACAB，∴1,12,43,5BDADAB，∴1,13,58ADBD．故选A．5．【答案】C【解析】∵22abaaba，∴3ab=，∴31cos,·162ababab，∴,3ab．故选C．6．【答案】B【解析】由向量共线定理知①正确；若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，所以②错误；在a，b能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c＝λa＋μb，所以③错误；若ab=ac，则0abc，所以abc，所以④正确，即正确命题序号是①④，所以B选项正确．7．【答案】A【解析】向量a在向量b上的投影为12cos,43abababaaabb．故选A．8．【答案】B【解析】∵1OMOBOAOAOBOA，∴AMAB，λ∈(1,2)，∴点B在线段AM上，故选B．9．【答案】C【解析】设△ABC边BC的中点为D，则22ABCABDABPABPSSADSSAP△△△△．∵1233APABACAD，∴32ADAP，∴32ADAP．∴3ABCABPSS△△．故选C．10．【答案】B【解析】2224133393APACCPACCRACABACABAC，故有417939mn．故选B．11．【答案】B【解析】由已知得435bac，将等式两边平方得22435bac，化简得35ac．同理由534c=ab两边平方得a·b＝0，∴35abcab+ac．故选B．12．【答案】B【解析】若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．对于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．对于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．【答案】2【解析】∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴,22,32,23ab=．∵向量λa＋b与向量4,7c=共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2．14．【答案】7【解析】∵222222125552511310134920abababab．∴|5a－b|＝7．15．【答案】2390xy【解析】设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有23,12,30APxyab，整理化简得2390xy．16．【答案】8【解析】设2,OMtOPtt，故有2212,752,152012528MAMBttttttt，故当t＝2时，MAMB取得最小值8．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】1566OMab，2233ONab，1126MNab．【解析】BAOAOBab．∴11153666OMOBBMOBBCOBBAab．又ODab．1122226333ONOCCNODODODab，∴221511336626MNONOMababab．18．【答案】（1）12；（2）23；（3）419．【解析】（1）1cos1204242abab．(a－2b)·(a＋b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12．（2）∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12．∴23ab．（3）|3a－4b|2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴34419ab．19．【答案】74．【解析】由题意有22312a，2213122b．∵1331022ab，∴ab．∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0．化简得334ttk．∴222117432444kttttt．即2t时，2ktt有最小值为74．20．【答案】存在，M点的坐标为(2,1)或2211,55．【解析】设OMtOC，t∈[0,1]，则6,3OMtt，即M(6t,3t)．26,53MAOAOMtt，36,13MBOBOMtt．若MA⊥MB，则263653130MAMBtttt．即45t2－48t＋11＝0，13t或1115t．∴存在点M，M点的坐标为(2,1)或2211,55．21．【答案】141417,,222．【解析】由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，得1212121227027tttteeeeeeee，即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)0．整理得：222112222770ttteeee．(*)∵|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°．∴e1·e2＝2×1×cos60°＝1，∴(*)式化简得：2t2＋15t＋70．解得：172t．当向量2te1＋7e2与e1＋te2夹角为180°时，设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ0)．对比系数得270tt，∴14142t，∴所求实数t的取值范围是141417,,222．22．【答案】见解析．【解析】证明如右图所示，∵1122ODOAOBab，∴2133OGODab．∴111333PGOGOPmm