三角函数最值论文

目录1引言……………………………………………………………………12三角函数最值问题的几种类型………………………………………13求三角函数最值的几种解法…………………………………………23.1利用正弦、余弦函数的有界性………………………………………23.2配方法…………………………………………………………………43.3均值不等式……………………………………………………………63.4反函数法………………………………………………………………73.5导数法…………………………………………………………………73.6判别式法………………………………………………………………83.7函数单调性……………………………………………………………103.8换元法…………………………………………………………………113.9数形结合法………………………………………………………………133.10其它类型…………………………………………………………………154三角函数最值在实际问题中的应用………………………………………185结论……………………………………………………………………216参考文献………………………………………………………………217致谢……………………………………………………………………22丽水学院2012届学生毕业论文1浅析三角函数最值问题理学院数学与应用数学082本李豪指导老师：张剑锋摘要：本文对三角函数最值问题的几种类型进行整理分析，主要对三角函数最值问题的求解方法进行阐述.还探讨了三角函数最值问题在实际中的应用，并把数形结合、配方法等一些中要的数学思想方法渗透到三角函数最值问题中.关键词：三角函数；最值问题；求解方法.1.引言三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数.它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射.通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域.另一种定义是在直角三角形中，但并不完全.现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系.它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割.由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数.三角函数在复数中有较为重要的应用.在物理学中，三角函数也是常用的工具.三角函数最值问题是函数最值的一个重要组成部分，也是高考热点之一，其出现的形式，或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题，或者是隐含在解答题中作为解决解答题所用的知识之一.它对三角函数的恒等变形能力及综合应用能力要求较高．同求解其他函数最值一样，解决这一类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为我们所熟知的函数（如二次函数）的最值问题.它不仅是三角函数知识的延续和再巩固，又是三角公式运用的具体表现.这类问题不仅与三角知识密切相关，而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式级一些解析几何知识结合密切.由于其题型变化多样、解法多样，有些解法又有较强的技巧.因此，对于学生而言要熟练掌握这些知识和方法的确有一点的难度.在数学奥林匹克竞赛中,三角函数最值问题,也是重点考查的主要内容.由于三角函数变换的多样性,三角函数公式的互通性使三角函数问题更能考查学生的思维的灵活性,所以也一直是竞赛考试的热点本文试对三角函数不同形式进行总结，谈谈如何求三角函数的最值.2.三角函数最值问题的几种类型求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元,化归为基本类的三角函丽水学院2012届学生毕业论文2数或代数函数,利用三角函数的有界性或常用求函数最值的方法去处理.（1）sinyaxb或cosyaxb型，利用sin1x或cos1x来求解，此时要注意字母a的符号对最值的影响.（2）sin+cosyaxbx型，引入辅助角，化为22sinyabx利用sin1x即可求解（3）22sincoscoscosyaxbxcyaxbxc或型，可令sintx或costx，1t化归为闭区间上二次函数的最值问题.（4）sincoscossinaxbaxbyycxdcxd或型解出sinx或cosx利用sin1cos1xx或去解，或是分离常数的方法去解决.（5）sincoscossinaxbaxbyycxdcxd或可化为sinxgy去处理；或万能公式换元后判别式法来解.当a=c时还可以看作斜率来用数形结合法来处理.（6）对于含有sincos,sincosxxxx的函数最值问题.常用的方法是sincosxxt其中2t，将sincosxx转化为t的关系式，从而归化为二次函数的最值问题.主要是化为sinyAx的形式，或是某种三角函数的二次函数型.利用弦函数的有界性或是二次函数在给定区间上来求值域或最值.（7）基本不等式型，将所求函数转化为利用基本不等式来求解的结构式.主要是运用均值定理来求解最值，需要注意的是取“=”的条件能否满足.因此，转化时可能会需要进行合理的拆、添项、凑常数等操作，有时还会用到22sincos1和tancot13.求三角函数最值的几种解法3.1利用正弦、余弦函数的有界性形如sin,,,sinaxbyabcdRcxd的三角函数，此类问题可化解为：sinbdyxcya的丽水学院2012届学生毕业论文3形式，利用sin1,1x解不等式，求y的取值范围.另对于形如sincosyaxbx的三角函数，可根据辅助角公式将其转化为一个角的一种三角函数的形式，即22sinyabx（其中tanba），然后根据正弦函数的取值范围便可求出原函数的最值.例1.若函数1cos2sincos224sin2xxxfxax的最大值为2，试确定常数a的值.解：222cos11sincoscossinsin4cos222244xxxaafxaxxxx，其中角满足21sin1a，由已知有21444a.解之得15a.例2.求函数2sin+1sin2xyx的最值解：2sin1sin2xyxsin22sin1yxx21sin2yxy又1sin1x21112yy13,3y故maxmin1,33yy例3.（2006，重庆）设函数23cossincosfxxxxa（其中0,aR）,且fx的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为6.求的值解：23cossincosfxxxxa1cos213sin222xxa丽水学院2012届学生毕业论文4313cos2sin2222xxa3sin232xa2632，=1.3.2配方法对于形如2sinsin0yaxbxca，或2coscos0yaxbxca，或tanyfx的三角函数的最值问题.例4.求函数232sin2sin4yxx的最值.解：所给函数配方为2112sin24yx，当1sin2x时，即26xk时，得函数的极值01=4y；当sin1x时，即22xk，kZ，得端点函数值1344y；当sin1x时，即22xk，kZ，得端点函数值234y.比较结果，所求函数的最大值1344y，最小值为014y.例5.已知：定义在,4上的减函数fx，使得27sin12cos4fmxfmx对一切实数x均成立，求实数m的范围.解：由题意可得27sin12cos4sin4mxmxmx，即2312sinsin44sinmmxxmx，对xR恒成立，又2311sin2sinsin422xxx，4sin3x，丽水学院2012届学生毕业论文511223mmm，11223mmm，解得12m，或332m.即为所求实数m的范围.反思：（1）上例利用了再闭区间上求二次函数最值的方法，.但是在运用这个方法前，首先要将式子转换只含有同角的三角函数，再把此三角函数视为二次函数的自变量.（2）本题综合运用三角恒等变形、三角函数的单调性、不等式恒成立等知识，是一个较好的三角函数综合题，注意解题过程中切莫遗漏12m.例6.若函数251coscos0822yxaxax的最大值为1，求a的值.解：251coscos82yxaxa2251=cos2482aaax令costx则22512482aaayt由02x知01t（1）若02a，则0t时max51182ay得125a.但它不适合02a，故舍去；（2）若012a，则2at时2max511482aay得4a或32a，只有32a适合012a，故舍去4a；丽水学院2012届学生毕业论文6（3）若12a则1t时max133182ay得2013a，但它也不适合12a，故也舍去.综上所述32a3.3均值不等式若待求三角函数的和或积为定值时，则可运用均值不等式定理.例7.已知222sinsinsin1（、、均为锐角），那么coscoscos的最大值等于.解：由222sinsinsin1可得222coscoscos2，由均值定理得2222223coscoscoscoscoscos323故coscoscos的最大值等于269.分析：对于满足“一正、二定、三相等”的三角函数最值问题，可用均值定理求解.例8.（2005全国卷）当02x时，函数21cos28sinsin2xxfxx的最小值是多少.解：21cos28sinsin2xxfxx=222cos8sincos4sin2442sincossincosxxxxxxxx当且仅当cos4sinsincosxxxx即1arctan2x时，min4fx成立.例9.当0,2x时，求2sincosyxx的最值.解：0,2x时0y，当2x时，min0y.又2242221sincos2sincoscos2yxxxxx3322212sincoscos124232327xxx丽水学院2012届学生毕业论文7239y，当且仅当2arctan2x时等号成立.max239y.3.4反函数法当函数的表达式中仅含有某一个三角函数名时可选择此法，用因变量y表示出该函数，然后利用该函数的最值求对应的原函数的最值.例10.（1）求函数3sin1sin2xyx的最值.（2）求函数224sinsin2xyx的最值.分析：（1）由题设条件知12sin3yxy1,1，由1+213yy得243y所以max23y，min4y.（2）又题设条件知2420sin11yxy，所以12y，所以max2y，min1y.例11.求函数2sin3sinxyx的最大值和最小值.解：原式可化为23sin1yxy.由于1sin1x，所以23111yy.解得1342y，故min14y，max32y.3.5导数法利用这种方法时，需要掌握与极值有关的知识，会运用导数来判断函数的极值点、最值点、单调性.例12.已知0,2x，求函数