高考一轮复习三角函数的图象与性质

第1页版权所有不得复制年级高三学科数学内容标题三角函数的图象与性质编稿老师胡居化一、学习目标：1.能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的函数图像.2.通过图像理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.3.理解函数)sin(xAy的图像性质及其图像的变换.4.能利用三角函数的图像解决简单的实际问题.二、重点、难点：重点：（1）掌握三角函数（y=sinx，y=cosx，y=tanx）的图像性质及其简单的应用.（2）理解函数)sin(xAy的图像及其性质.难点：三角函数图像的应用三、考点分析：从新课标高考命题的内容来看：对三角函数的图像与性质这部分知识点进行考查时的题型有选择、填空和中等难度的大题，都以考查基础知识为主.因此第一轮复习的重点是掌握三角函数的基础知识，并能灵活运用基础知识解决问题.三角函数的图像与性质的图像变换的图像与性质的图像与性质的图像与性质的图像与性质像与性质基本初等三角函数的图)xsin(Ayxsiny)xsin(Aytanxycosxyxsiny知识要点解析：一、三角函数的图像与性质：函数y=sinxy=cosxy=tanx第2页版权所有不得复制图像定义域RR2kx值域[－1，1][－1，1]R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间：［]22,22kk减区间：]232,22[kk增区间：]2,2[kk减区间：])1(2,2[kk在开区间：)2,2(kk上是增函数.对称性对称轴方程：直线2kx对称中心坐标：)0,(k对称轴方程：直线kx对称中心坐标：)0,2(k对称中心坐标：)0,21(k注意：（1）正弦、余弦函数的图像用“五点法”作图，选择（0，0），（)0,2(),1,23(),0,(),1,2这五个点可作出草图.（2）三角函数线的概念.二、函数)sin(xAy的图像与性质（)0,0A1.图像：利用“五点法”作函数)sin(xAy的图像.令2,23,,2,0x，然后列表、描点、连线.2.性质：（1）定义域：),(（2）值域：],[AA，（当Akxminy22时，；当Akxmaxy22时，）第3页版权所有不得复制（3）周期性：2T（4）奇偶性：)sin(xAy是奇函数)Zk(k)sin(xAy是偶函数)Zk(2k（5）单调性：在区间]22,22[kk上递增，在区间]232,22[kk上递减.（6）对称性：对称轴方程：)0,2kkx，对称中心（三、函数)sin(xAy+k的图像变换变换I：振幅变换周期变换相位变换（1）y=sinx图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）为原来的A倍得到y=Asinx的图像.（2）y=Asinx图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10）或缩短（1）为原来的1倍得到xsinAy的图像.xAysin3）（的图像向左平移)0(||)0(或向右平移个单位得)sin(xAy的图像.|k|)0k()0k)xsin(Ay4平移或向下的图像向上（）（个单位得到kxAy)sin(的图像.变换II：振幅变换相位变换周期变换（1）y=sinx图像的横坐标不变，纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）为原来的A倍得到y=Asinx的图像.（2）xAysin的图像向左平移)0(||)0(或向右平移个单位得)sin(xAy的图像.（3）y=Asin（x+）图像的纵坐标不变，横坐标伸长（10）或缩短（1）为原来的1倍得到)xsin(Ay的图像.第4页版权所有不得复制（4）|k|)0k()0k)xsin(Ay平移或向下图像向上（个单位得到kxAy)sin(的图像.注意上述两种变换的区别.知识点一：函数xyxyxytan,cos,sin的图像与性质例1.基础题1.函数y=xcos21的定义域是_____________.2.不等式xxcossin的解集是____________.3.函数)4tan(xy的递增区间是____________.4.函数2sin1sinxxy的值域是____________.思路分析：1.由0cos21x结合三角函数线或余弦函数图像求x的取值范围.2.利用正、余弦函数图像或三角函数线求不等式的解集.3.根据正切函数y=tanx的递增区间求函数)4tan(xy的递增区间.4.用y表示sinx，再利用1|sin|x求y的取值范围.或用分离常数法求解.解题过程：1.由已知得：0cos21x21cosx，由三角函数线知：角x的取值范围是如图所示的阴影区域.故函数的定义域是)Zk](35k2,3k2[.2.在同一坐标系中画出函数y=sinx与y=cosx的图像.第5页版权所有不得复制由图知：使xxcossin成立的x的取值范围（解集）是：)zk](45k2,4k2[3.设t=tyxtan,4则，由函数tytan的递增区间是)Zk(2k,2k(），故),Zk(4kx43k)Zk(2k4x2k即函数)4tan(xy的递增区间是)Zk)(4k,43k(.4.由已知得：1yy21xsiny21xsin)1y(1xsin2)sinxy（（)1y，22)1()21(1|121|1|sin|yyyyx整理得：02022yyy，即函数的值域是［－2，0］另解：2sin1sinxxy=2sin312sin3)2(sinxxx，令11sinttx231ty，显然y是t的减函数，故02y，即函数的值域是［－2，0］用这种方法求解时要注意函数的定义域.如求1sin2sinxxy的值域，采用分离常数法时要注意：1sin1x，此时1sin11xy，因1sin1x，故23y.若不考虑定义域会误认为：1sin1x从而得出错误的结果.解题后的思考：利用基本三角函数的性质求函数的值域或求函数的单调区间或求令简单的三角不等式成立的x的取值范围等问题是高考常见题型，且几乎都是客观题.我们除要掌握基础知识外，还要掌握一些常用的数学思想方法.要做到触类旁通，如求)0ab,.0mn(nxcosmxcosbay的值域问题其实与本例第4题的做法一样.例2.中等题第6页版权所有不得复制1.函数上单调递增，则在区间]32,32[)0(xsin2)x(f的最大值是______.2.函数xxysin2cos1的最大值是M，最小值是N，则M+N=_________________.3.已知函数412sin21)(),3cos()3cos()(xxgxxxf（1）求函数f（x）的最小正周期.（2）求函数)()()(xgxfxh的最大值、单调区间、对称轴方程及取得最大值时x的取值集合.思路分析：1.利用正弦函数递增区间是]4,4[TT，则可由]4,4[]32,32[TT建立的不等关系式.2.求函数xxysin2cos1的值域，可利用)sin(cossin22xbaxbxa求解.3.（1）化简f（x）的函数式，用正弦或余弦表示.再利用T=的系数x2求出周期.（2）先确定h（x）的函数解析式，然后再求其最值、单调区间、对称轴方程等.解题过程：1.由于f（x）在区间]4,4[TT上递增（如图），]4,4[]32,32[TT，43,433242324Tmax.2.由xxysin2cos1得：xxyyxxycos1sin2cos1)sin2(，12)sin(112cossin2yxyyxxy（)1tany，1|112|1|)sin(|,112)sin(22yyxyyx，两边平方，第7页版权所有不得复制整理得：34,0,340043maxmin2yyyyy故，34NM.3.（1）由xxxxxxxf22sin43cos41)sin23cos21)(sin23cos21()(=412cos21)2cos1(83)2cos1(81xxx.故函数f（x）的最小正周期是22T.（2）)42cos(222sin212cos21412sin21412cos21)(xxxxxxh，由),Zk(8kx85kk24x2k2由),Zk(83kx8kk24x2k2故函数h（x）的增区间是]83,8[]8,85[kkkk，减区间是，最大值是22，此时对应的x的值是),Zk(8kxk24x2故x的取值集合是}8|{kxx，对称轴方程：)Zk(8k21xk4x2.解题后的思考：对于求形如xnmxbaycossin)0mn,0ab(的值域问题，及求复杂函数的周期单调时区间、等问题常采用以下变换：)sin(cossin22xbaxbxa.因此这个变换很重要，实质是正、余弦的和（差）角公式的应用.例3.创新与应用已知向量3)()sin,cos2(),sin32,(sinbaxfxxbxxa，定义，（1）求函数的值域)(xf及对称轴方程.（2）若函数)20)(x(fy为偶函数，求的值.思路分析：（1）由向量的坐标运算，先确定f（x）的解析式，再确定值域和对称轴方程.（2）由函数)sin(xAy是偶函数)Zk(2k及x的取值范围第8页版权所有不得复制确定的值.解题过程：（1）3sin32cossin2)(2xxxxf＝)32sin(22cos32sin322cos1322sinxxxxx故函数f（x）的值域是［－2，2］，对称轴方程是),Zk(2k3x2即Zk,125k21x（2）)]32(2sin[2)(xxf，Zk,125k212k32)x(f是偶函数，又125,20.解题后的思考：三角函数与平面向量的结合一直是新课标高考命题的重要题型.以向量为载体具体考查三角函数的恒等变换及三角函数的图像与性质.我们应该关注这种题型.知识点二：函数)0,0A)(xsin(Ay的图像与性质例4.基础题1.函数y=sin2x的图像向左平移4个单位，再向上平移1个单位所得函数的解析式是________.2.已知函数)0)(4xcos()x(f的最小正周期是，将y=f（x）的图像向左平移||个单位，所得图像关于原点成中心对称，则||=_______________.3.函数)32sin(2xy在［0，]上的单调递增区间是______________.思路分析：1.函数y=sin2x向左平移4个单位是：x2cos)4x(2siny.2.由已知得=2，故]4|)|x(2cos[y||)4x2cos()x(f得：向左平移由平移后的函数图像关于原点对称求||的值.3.由正弦函数y=sinx的增区间得：223222kxk，求出x的取值区间，再赋予k的