广东海洋大学14-15第二学期高数期末考试试题A,B卷(含答案)

第1页共6页广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：19221101x2□√考试□√A卷□√闭卷□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数2118357685100实得分数一、填空题（共21分每小题3分）1．曲线012xyz绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122yxz．2．直线35422:1zyxL与直线tztytxL72313:2的夹角为2．3．设函数22232),,(zyxzyxf，则)1,1,1(gradf)6,4,2(．4．设级数1nnu收敛，则nnulim0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为,0,10,0)(xxxxf则它的傅里叶级数在x处收敛于21．6．全微分方程0ddyxxy的通解为Cxy．7．写出微分方程xeyyy2的特解的形式xaxey*．二、解答题（共18分每小题6分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线02032zyxzyx的平面方程．班级：姓名：学号：试题共6页加白纸3张密封线GDOU-B-11-302第2页共6页解：设所求平面的法向量为n，则3,2,1111121kjin(4分)所求平面方程为032zyx(6分)2．将积分vzyxfd),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中是曲面)(222yxz及22yxz所围成的区域．解：20,10,2:2rrzr(3分)vzyxfd),,(221020d),sin,cos(ddrrzzrrfrr(6分)3．计算二重积分DyxyxeIdd)(22，其中闭区域.4:22yxD解2020dd2rreIr20220)(dd212rer(4分)202d221re)1(4e(6分)三、解答题（共35分每题7分）1．设vuez，而22yxu，xyv，求zd．姓名:学号:系别:年级专业:(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线………………………………………第3页共6页解：)2(232yyxxeyuexexvvzxuuzxzxyvv(3分))2(223xyxyexueyeyvvzyuuzyzxyvv(6分)yxyxyexyyxxezxyxyd)2(d)2(d2332(7分)2．函数),(yxzz由方程0xyzez所确定，求yzxz,．解：令xyzezyxFz),,(，(2分)则,yzFx,xzFy,xyeFzz(5分)xyeyzFFxzzzx，xyexzFFyzzzy．(7分)3．计算曲线积分Lyxxydd，其中L是在圆周22xxy上由)0,2(A到点)0,0(O的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林公式OADLyxxyyxyxxydddd2dd(5分)022(7分)4．设曲线积分Lxyxfxyxfed)(d)]([与路径无关，其中)(xf是连续可微函数且满足1)0(f，求)(xf．第4页共6页解：由xQyP得)()(xfxfex，即xexfxf)()((3分)所以)d()(dd)1(Cxeeexfxxx)(Cxex，(6分)代入初始条件，解得1C，所以)1()(xexfx．(7分)5．判断级数12)!2()!(nnn的敛散性．解：因为)!2()!()!22(])!1[(limlim221nnnnuunnnn(3分))12)(22()1(lim2nnnn141(6分)故该级数收敛．(7分)四、（7分）计算曲面积分yxzxzyzyxdddddd，其中是上半球面221zyx的上侧．姓名:学号:系别:年级(密封线内不答题)……………………………………………………密………………………………………………封…………………………………线………………………第5页共6页解：添加辅助曲面1,0:221yxz，取下侧，则在由1和所围成的空间闭区域上应用高斯公式得yxzxzyzyxdddddd1ddddddyxzxzyzyx1ddddddyxzxzyzyx(4分)0d3v(6分)342132．(7分)五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为zyx,,，则2zyx，且面积为)sinsin(sin212zyxRA，令)2(sinsinsinzyxzyxF(3分)由20cos0cos0coszyxzFyFxFzyx(4分)得32zyx．此时，其边长为RR3232．由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大．(6分)六、（8分）求级数1nnnx的收敛域，并求其和函数．第6页共6页解：1)1(limlim1nnaaRnnnn，故收敛半径为1R．(2分)当1x时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛；当1x时，级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[．(5分)设和为)(xS，即1)(nnnxxS，求导得11)(nnxxSx11，(6分)再积分得xxxSxS0d)()(xxxd110)1ln(x，)11(x(8分)七、（5分）设函数)(xf在正实轴上连续，且等式yxxyttfxttfyttf111d)(d)(d)(对任何0,0yx成立．如果3)1(f，求)(xf．解：等式两边对y求偏导得)(d)()(1yfxttfyxfxx(2分)上式对任何0,0yx仍成立．令1y，且因3)1(f，故有xxttfxxf13d)()(．(3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(xfxfxfx即)0(3)(xxxf．故通解为Cxxfln3)(．当1x时，3)1(f，故3C．因此所求的函数为)1(ln3)(xxf．(5分)第1页共4页广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：19221101x2□√考试□A卷□√闭卷□考查□√B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数271577181214100实得分数一、填空题.（每小题3分，共27分）1.二元函数2241yxz的定义域是}4),({22yxyx2.设向量)1,2,1(a，)2,1,1(b，则ba=(-5,-1,3)3.过点（1，1，1）且以)11,4,1(n为法线向量的平面方程为06114zyx4.将yoz坐标面上的抛物线zy22绕z轴旋转所成的曲面方程是:zyx2225.极限2222001sin)(limyxyxyx06.设函数)ln(xyz，则yz=y17.曲线32,1,tztytx在点(1,0,1)处的切线方程是：31121zyx8.改变累次积分I=101),(ydxyxfdy的次序为I=100),(xdyyxfdx9.微分方程xyy2的通解是2xce二、单项选择题（每小题3分，共15分）班级：姓名：学号：试题共5页加白纸3张密封线GDOU-B-11-302第2页共4页1．设函数3)()(xadttfx，则)(x（D）（A）)(xf（B）)(3xf（C）)(32xfx（D）)(332xfx2.设函数yxzsin2，则yxz2等于（B）(A)yxcos2(B)yxcos2(C)x2(D)ycos3．直线11121zyx与平面1zyx的位置关系是（B）（A）垂直（B）平行（C）夹角为4（D）夹角为44．设D是第二象限内的一个有界区域，而且10y，记DyxdI1，DxdyI22，DxdyI213，则321,,III之间的大小顺序为（C）（A）321III（B）312III（C）213III（D）123III5．微分方程0lnyyyx是（A）（A）变量分离方程（B）齐次方程（C）一阶齐次线性微分方程（D）一阶非齐次线性微分方程三．计算由两条抛物线xy2，2xy所围成的图形的面积。（7分）解：两条抛物线的交点为：(0,0)及(1,1).A=31)332()(10323102xxdxxx四．求直线4321zyxzyx的点向式方程与参数方程.(7分)解：在直线上任取一点),,(000zyx,取10x,063020000zyzy得：2,000zy.所求点的坐标为)2,0,1(,取直线的方向向量3,1,21,1,1skjikji34312111,第3页共4页所以直线的点向式方程为：,321041zyx令102,413xyzt则所求参数方程:.3241tztytx五．计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设vuzln而yxvxyu,求xzyz解：vuyvxz)(lnyxxyyxy)ln()1()(lnvuxvyzyxxyyxx)ln(2.设),(yxzz是由方程0222zezyx所确定的隐函数,求xz.分）（所以分）则解：622223(2,2,2),,(222zexezxxZezzFyyFxxFezyxzyxFzzzz3.求函数32yxz当01.0,02.0,1,2yxyx时的全微分。解：因为23322322dd2d3d23zxyxyxxyyxyxxyy所以当2x，1y，0.02x，0.01y时全微分为d4120.080.120.2zxy.六.计算下列二重积分（每小题6分，共12分）1.计算I=dxyD2其中D是由直线轴和xxxy2,所围成的闭区域.解：dxyD22002dyydxxx1532dx31204x第4页共4页2.计算I=Dydx122，其中D是圆域：222ayx解：I=Dydx122200rd1darrθara220七．求解下列微分方程（每小题7分，共14分）（1）求微分方程xeyyx满足初值条件eyx1的特解.解：原方程变为：xeyxyx1，xexQxxPx)(,1)(通解为：)()(ln11cdxeecdxexeeyxxdxxxdxx)(1cexx把eyx1代入通解，得：C=0则所求微分方程的特解为：xexy1（2）求微分方程0258yyy的通解.解：微分方程对应的特征方程为：02582rr特征根为：ir342,1则所求微分方程的通解为：)3sin3cos(214xcxceyx