2014届高三数学一轮复习专讲专练 (抢分热点串讲)：第四讲 立体几何(23张PPT)(2014高考

空间几何体[例1](1)(2012·山西模拟)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为()A．2πB．6πC．46πD．24π解析：设该三棱锥外接球的半径为R，则依题意有12AB·AC＝22，12AD·AC＝32，解得AB＝2，AC＝1，AD＝3，12AB·AD＝62，所以(2R)2＝AB2＋AC2＋AD2＝6，解得R＝62，故该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝6π.答案：B(2)(2012·江西盟校二联)已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．解析：由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个正三角形，四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋43.答案：12+43[方法总结]空间几何体常借助于三视图考查空间几何体的特征、面积与体积及与球有关的衔接问题．多以选择、填空题形式考查，解决此类问题的关键是利用三视图准确地还原几何体，然后根据提供条件解决面积与体积问题.空间位置关系[例2](1)(2013·潍坊模拟)在空间中，l、m、n是三条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列结论正确的是________．A．若α∥β，α∥γ，则β∥γB．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝l，则l⊥αD．若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，l⊥m，l⊥n，则m⊥n解析：根据平面平行的传递性可知，选项A中的结论正确；根据线面平行的判断方法可以证明选项B中的结论正确；根据线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理可得选项C中的结论正确；选项D中的结论不正确，m与n不一定垂直．答案：D(2)(2013·苏北四市联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC，CD的中点，求证：(1)EF∥平面PBD；(2)平面PEF⊥平面PAC.[证明](1)因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，因为EF⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，所以EF∥平面PBD.(2)设BD交AC于点O，连结PO，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC，O是BD中点，又PB＝PD，所以BD⊥PO，又EF∥BD，所以EF⊥AC，EF⊥PO.又AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，且EF⊄平面PAC，所以EF⊥平面PAC.因为EF⊂平面PEF，所以平面PEF⊥平面PAC.[方法总结]空间向量的应用主要考查利用向量法证明平行或垂直问题及空间角的求法，多以解答题形式考查，解决此类问题的关键是恰当建立空间坐标系及准确求出相关点的坐标与平面的法向量．[例3](2012·广州模拟)已知正方形ABCD的边长为2，AC∩BD＝O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC＝a，得到三棱锥A－BCD，如图所示．(1)当a＝2时，求证：AO⊥平面BCD；(2)当二面角A－BD－C的大小为120°时，求二面角A－BC－D的正切值．折叠问题解：(1)根据题意，在△AOC中，AC＝a＝2，AO＝CO＝2，所以AC2＝AO2＋CO2，所以AO⊥CO.因为AC、BD是正方形ABCD的对角线，所以AO⊥BD.因为BD∩CO＝O，CO⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，所以AO⊥平面BCD.(2)法一：由(1)知，CO⊥OD，以O为原点，OC，OD所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，则O(0,0,0)，D(0，2，0)，C(2，0,0)，B(0，－2，0)．设A(x0,0，z0)(x00)，则OA＝(x0,0，z0)，OD＝(0，2，0)．又设平面ABD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则n·OA＝0，n·OD＝0，即x0x1＋z0z1＝0，2y1＝0.所以y1＝0，令x1＝z0，则z1＝－x0.所以n＝(z0,0，－x0)．因为平面BCD的一个法向量为m＝(0,0,1)，且二面角A－BD－C的大小为120°，所以m，n＝|cos120°|＝12，得z20＝3x20.因为AO＝2，所以x20＋z20＝2，解得x0＝－22，z0＝62，所以A－22，0，62.设平面ABC的法向量为l＝(x2，y2，z2)，因为BA＝－22，2，62，BC＝(2，2，0)，则l·BA＝0，l·BC＝0，即－22x2＋2y2＋62z2＝0，2x2＋2y2＝0.令x2＝1，则y2＝－1，z2＝3.所以l＝(1，－1，3)．设二面角A－BC－D的平面角为θ，所以cosθ＝l，m＝31＋1＋32＝155.所以tanθ＝63.所以二面角A－BC－D的正切值为63.法二：在△ABD中，BD⊥AO，在△BCD中，BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A－BD－C的平面角，即∠AOC＝120°.在△AOC中，AO＝CO＝2，所以AC＝6.如图，过点A作CO的垂线交CO的延长线于点H，因为BD⊥CO，BD⊥AO，且CO∩AO＝O，所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC，所以BD⊥AH.又CO⊥AH，且CO∩BD＝O，所以AH⊥平面BCD.过点A作AK⊥BC，垂足为K，连接HK，因为BC⊥AH，AK∩AH＝A，所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK，所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A－BC－D的平面角．在△AOH中，∠AOH＝60°，AO＝2，则AH＝62，OH＝22，所以CH＝CO＋OH＝2＋22＝322.在Rt△CHK中，∠HCK＝45°，所以HK＝CH2＝32.在Rt△AHK中，tan∠AKH＝AHKH＝6232＝63.所以二面角A－BC－D的正切值为63.[方法总结]折叠问题一直是命题的热点内容，解决此类问题的关键是抓住折叠前后哪些变化，哪些不变，体现了平面与空间的转化问题．空间向量的应用[例4](2013·长春模拟)如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE＝90°，AF∥DE，DE＝DA＝2AF＝2.(1)求证：AC∥平面BEF；(2)求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．解：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则F(2,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，E(0,0,2)，A(2,0,0)，设平面BEF的法向量为n＝(x，y，z)，则n·FE＝0，n·FE＝0，而FE＝(－2,0,1)，FB＝(0,2，－1)，即－2x＋z＝0，2y－z＝0，令x＝1，则y＝1，z＝2，n＝(1,1,2)．∵AC＝(－2,2,0)，且n·AC＝0，∴n⊥AC，而AC⊄平面BEF，∴AC∥平面BEF.(2)设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角，由(1)知平面BEF的法向量为n＝(1,1,2)．又平面ABCD与z轴垂直，∴平面ABCD的一个法向量可取为n1＝(0,0,1)，∴cosα＝n1，n＝n1·n|n1|·|n|＝21×6＝63，∴tanα＝22，∴平面BEF与平面ABCD所成角的正切值为22.