2012考研数学三模拟题1答案解析

数学三试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）函数3()sinxxfxx的可去间断点的个数为：（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C【解析】3sinxxfxx则当x取任何整数时，fx均无意义故fx的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30xx的解1,2,30,1x320032113211131limlimsincos132limlimsincos132limlimsincosxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx故可去间断点为3个，即0,1（2）当0x时，()sinfxxax与2()ln(1)gxxbx是等价无穷小，则（）A.1a，16bB.1a，16bC.1a，16bD.1a，16b【答案】A【解析】2()sin,()(1)fxxaxgxxlnbx为等价无穷小，则222200000()sinsin1cossinlimlimlimlimlim()ln(1)()36xxxxxfxxaxxaxaaxaaxgxxbxxbxbxbx洛洛230sinlim166xaaxabbaxa36ab故排除,BC。另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0x故1.a排除D。所以本题选A。（3）使不等式1sinlnxtdtxt成立的x的范围是（）A.(0,1)B.(1,)2C.(,)2D.(,)【答案】A【解析】原问题可转化为求111sinsin1()lnxxxttfxdtxdtdtttt11sin11sin0xxttdtdttt成立时x的取值范围，由1sin0tt，0,1t时，知当0,1x时，()0fx。故应选A.（4）设函数yfx在区间1,3上的图形为：则函数0xFxftdt的图形为（）1()fx-2023x-1OA.B.C.D.【答案】D【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yfx的图形可见，其图像与x轴及y轴、0xx所围的图形的代数面积为所求函数()Fx，从而可得出几个方面的特征：①0,1x时，()0Fx，且单调递减。②1,2x时，()Fx单调递增。③2,3x时，()Fx为常函数。④1,0x时，()0Fx为线性函数，单调递增。⑤由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D。（5）设,AB均为2阶矩阵，*,AB分别为,AB的伴随矩阵，若||2,||3AB则分块矩阵00AB的伴随矩阵为（）()fx023x1-2-11()fx023x1-11()fx023x1-2-11()fx023x1-2-11A.**0320BAB.**0230BAC.**0320ABD.**0230AB【解析】根据CCCE，若111,CCCCCC分块矩阵00AB的行列式22012360AABB（），即分块矩阵可逆11110000066000100BBAAABBBBAAA10023613002BBAA故答案为（B）（6）设,AP均为3阶矩阵，TP为P的转置矩阵，且100010002TPAP，若1231223(,,),(,,)PQ，则TQAQ为（）A.210110002B.110120002C.200010002D.100020002【答案】A【解析】122312312312100(,,)(,,)110(,,)(1)001QE，即：12121212122112(1)[(1)][(1)](1)[](1)100(1)010(1)002110100100210010010110110001002001002TTTTQPEQAQPEAPEEPAPEEE（7）设事件A与事件B互不相容，则（）A.()0PABB.()()()PABPAPBC.()1()PAPBD.()1PAB【答案】D【解析】因为,AB互不相容，所以()0PAB()A()()1()PABPABPAB，因为()PAB不一定等于1，所以()A不正确()B当(),()PAPB不为0时，()B不成立，故排除()C只有当,AB互为对立事件的时候才成立，故排除()D()()1()1PABPABPAB，故()D正确。（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布(0,1)N，Y的概率分布为1{0}{1}2PYPY，记()zFZ为随机变量ZXY的分布函数，则函数()zFZ的间断点个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】()()(0)(0)(1)(1)1[(0)(1)]21[(00)(1)]2ZFzPXYzPXYzYPYPXYzYPYPXYzYPXYzYPXzYPXzY,XY独立1()[(0)()]2ZFzPxzPxz（1）若0z，则1()()2ZFzz（2）当0z，则1()(1())2ZFzz0z为间断点，故选（B）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）cos320lim11xxeex.【答案】32e【解析】coscos1332200(1)limlim1111xxxxeeeexx02(1cos)lim13xexx20212lim13xexx32e（10）设()yxzxe，则(1,0)zx【解析】由xyzxe，故,01xzxx''ln(1)ln(1)1ln(1)1xxxxxdzxxeexdxx代入1x得，ln21,01ln22ln212zex（11）幂级数21(1)nnnnexn的收敛半径为【答案】1e【解析】由题意知，210nnnean111122122111()11111nnnnnnnnnneeeannenanenee所以，该幂级数的收敛半径为1e（12）设某产品的需求函数为()QQP,其对应价格P的弹性0.2p，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加元【答案】12000【解析】所求即为QPQPQ因为0.2pQPQ，所以0.2QPQ所以0.21.2QPQQQ将10000Q代入有12000QP。（13）设(1,1,1)T,(1,0,)Tk，若矩阵T相似于300000000，则k【答案】2【解析】T相似于300000000，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T的特征值为3，0，0。而T为矩阵T的对角元素之和，1300k，2k。(14)设1X，2X,…nX是来自二项分布总体(,)Bnp的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差，记统计量2TXS，则ET【答案】2np【解析】由222()(1)ETEXSEXESnpnppnp三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求二元函数22(,)2lnfxyxyyy的极值。【解析】2(,)2(2)0xfxyxy2(,)2ln10yfxyxyy故10,xye2212(2),2,4xxyyxyfyfxfxyy则12(0,)1(0,)1(0,)12(2)0xxexyeyyefeffe0xxf而2()0xyxxyyfff二元函数存在极小值11(0,)fee（16）（本题满分10分）计算不定积分1ln(1)xdxx(0)x【解析】令1xtx得22212,1(1)tdtxdxtt222222222221ln(1)ln(1)(1)(1)(1)1ln(1)()1ln(1)11111ln(1)111(14(1)4(11ln(1)111ln1412(1)11111ln(1)ln4112ttdttdttttdttdtttttdtttttttCtttxxxxxxx2原式））2（）1(1)111ln(1)ln((1))ln((1))22CxxxxxxxxCx（17）（本题满分10分）计算二重积分()Dxydxdy，其中22(,)(1)(1)2,Dxyxyyx.【解析】由22(1)(1)2xy得2(sincos)r，32(sincos)4()(cossin)04Dxydxdydrrrdr332(sincos)14(cossin)034rd2384(cossin)(sincos)(sincos)34d3384(cossin)(sincos)34d3344438814(sincos)(sincos)(sincos)3344d83（18）（本题满分11分）①证明拉格朗日中值定理，若函数()fx在,ab上连续，在,ab上可导，则,ab，得证'()()()fbfafba.②证明：若函数()fx在0x处连续，在0,,(0)内可导，且'0lim()xfxA，则'(0)f存在，且'(0)fA.【解析】（Ⅰ）作辅助函数()()()()()()fbfaxfxfaxaba，易验证()x满足：()()ab；()x在闭区间,ab上连续，在开区间,ab内可导，且''()()()()fbfaxfxba。根据罗尔定理，可得在,ab内至少有一点，使'()0，即'()f'()()0,()()()()fbfafbfafbaba（Ⅱ）任取0(0,)x，则函数()fx满足；在闭区间00,x上连续，开区间00,x内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在000,0,xx，使得0'00()(0)0xfxffx……*又由于'0limxfxA，对上式（*式）两边取00x时的极限可得：000000'''0000()00limlim()lim()0xxxxxfxffffAx故'(0)f存在，且'(0)fA。（19）（本题满分10分）设曲线()