【志鸿优化设计】2015届高考数学(人教版,理科)一轮总复习精品课件：9.9 曲线与方程

9.9曲线与方程第九章9.9曲线与方程-2-1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.会求简单的轨迹方程.第九章9.9曲线与方程-3-1.一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.曲线可以看作是符合某条件的点的集合,也可看作是满足某种条件的动点的轨迹,因此,此类问题也叫轨迹问题.2.求曲线方程的基本步骤:(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)};(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化方程f(x,y)=0为最简形式;(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.第九章9.9曲线与方程-4-想一想如何检验所求轨迹方程是否符合条件?答案:检验可以从以下两个方面进行:一是方程的化简是否为同解变形;二是是否符合题目的实际意义.第九章9.9曲线与方程-5-答案解析解析关闭由y=9-𝑥2得x2+y2=9,因为x2+y2=9表示一个圆,所以y=9-𝑥2表示一个半圆.答案解析关闭D基础自测1.方程y=9-𝑥2表示的曲线是()A.抛物线的一部分B.双曲线的一部分C.圆D.半圆第九章9.9曲线与方程-6-答案解析解析关闭以MN的中点为原点建立直角坐标系,并设M(-3,0),N(3,0),P(x,y),则𝑃𝑀·𝑃𝑁=(-3-x,-y)·(3-x,-y)=(x2-9)+y2=0,即x2+y2=9,故P点的轨迹是圆.答案解析关闭A2.若M,N为两个定点,且|MN|=6,动点P满足𝑃𝑀·𝑃𝑁=0,则P点的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线第九章9.9曲线与方程-7-答案解析解析关闭𝐴𝑃=(x+2,y),𝐵𝑃=(x-3,y),𝐴𝑃·𝐵𝑃=(x+2)(x-3)+y2=x2-6,整理得y2=x.答案解析关闭y2=x3.已知点A(-2,0),B(3,0),动点P(x,y)满足𝐴𝑃·𝐵𝑃=x2-6,则P点的轨迹方程是.第九章9.9曲线与方程-8-答案解析解析关闭设点M(x,y),P(x0,y0),则N(x0,0),∴𝑥=𝑥0,𝑦=𝑦02.∴𝑥0=x,𝑦0=2y.又点P(x0,y0)在圆x2+y2=4上,∴𝑥02+𝑦02=4.∴x2+4y2=4,即𝑥24+y2=1.答案解析关闭𝑥24+y2=14.过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂线PN,N为垂足,则线段PN中点M的轨迹方程为.第九章9.9曲线与方程-9-考点一直接法求轨迹方程【例1】已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O:x2+y2=1,动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ0),求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.答案答案关闭解:如图所示,设直线MN切圆于N点,则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}(λ0).因为圆的半径|ON|=1,所以|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1.设点M的坐标为(x,y),则𝑥2+𝑦2-1=λ(𝑥-2)2+𝑦2,整理,得(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4λ2)=0,当λ=1时,方程化为x=54,它表示一条直线;当λ≠1时,方程化为𝑥-2𝜆2𝜆2-12+y2=1+3𝜆2(𝜆2-1)2,它表示圆心为2𝜆2𝜆2-1,0,半径为1+3𝜆2|𝜆2-1|的圆.考点一考点二考点三思想方法第九章9.9曲线与方程-10-方法提炼(1)用直接法求轨迹方程的步骤:建系,设标,列方程化简.其关键是根据条件列出方程来.(2)求轨迹方程时,最后要注意它的完备性与纯粹性,多余的点要去掉,遗漏的点要补上.考点一考点二考点三思想方法第九章9.9曲线与方程-11-考点一考点二考点三思想方法举一反三1等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么.答案答案关闭解:设另一个端点C的坐标为(x,y).依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得(𝑥-4)2+(y-2)2=(4-3)2+(2-5)2,整理得(x-4)2+(y-2)2=10.这是以点A(4,2)为圆心,以10为半径的圆,如图所示,又因为A,B,C为三角形的三个顶点,所以A,B,C三点不共线.即点B,C不能重合且B,C不能为圆A的一直径的两个端点.因为点B,C不能重合,所以点C不能为(3,5).又因为点B,C不能为一直径的两个端点,所以𝑥+32≠4,且𝑦+52≠2,即点C不能为(5,-1).故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(除去点(3,5)和(5,-1)).它的轨迹是以点A(4,2)为圆心,10为半径的圆,但除去(3,5)和(5,-1)两点.第九章9.9曲线与方程-12-考点二定义法求轨迹方程【例2】已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别是1和2,且|O1O2|=4.动圆M与圆O1内切,又与圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线.答案答案关闭如图所示,以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|=4,得O1(-2,0),O2(2,0).设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆O1内切,有|MO1|=r-1;由动圆M与圆O2外切,有|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=3.∴点M的轨迹是以O1,O2为焦点,实轴长为3的双曲线的左支.∴a=32,c=2,∴b2=c2-a2=74.∴点M的轨迹方程为4𝑥29−4𝑦27=1𝑥≤-32.考点一考点二考点三思想方法第九章9.9曲线与方程-13-方法提炼求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.考点一考点二考点三思想方法第九章9.9曲线与方程-14-考点一考点二考点三思想方法举一反三2已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.答案解析解析关闭解法一:直接法.设A(x,y),则D𝑥2,𝑦2,∴|CD|=𝑥2-52+𝑦24=3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,∴A不能落在x轴上,即y≠0.解法二:定义法.如图所示,设A(x,y),D为AB的中点,过A作AE∥CD交x轴于点E.∵|CD|=3,∴|AE|=6,则E(10,0).∴顶点A的轨迹为以E为圆心,6为半径的圆,即(x-10)2+y2=36.又A,B,C三点构成三角形,∴A点纵坐标y≠0,故顶点A的轨迹方程为(x-10)2+y2=36(y≠0).答案解析关闭(x-10)2+y2=36(y≠0)第九章9.9曲线与方程-15-考点三相关点法求轨迹方程【例3】如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.答案答案关闭解:(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xP,yP),由已知得𝑥𝑃=x,𝑦𝑃=54y.∵P在圆上,∴x2+54y2=25,即C的方程为𝑥225+𝑦216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得𝑥225+(𝑥-3)225=1,即x2-3x-8=0.∴x1=3-412,x2=3+412.∴线段AB的长度为|AB|=(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=1+1625(𝑥1-𝑥2)2=4125×41=415.考点一考点二考点三思想方法第九章9.9曲线与方程-16-方法提炼在上述问题中,动点P(主动点)在已知曲线上运动,动点M(被动点)依赖点P的运动而运动,这种求轨迹问题所用的方法称为“相关点法”.其基本步骤为:(1)设点:设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1);(2)求关系式:求出两个动点坐标之间的关系式𝑥1=f(x,y),𝑦1=g(x,y);(3)代换:将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程.考点一考点二考点三思想方法第九章9.9曲线与方程-17-考点一考点二考点三思想方法举一反三3已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.答案答案关闭解:设△ABC的重心G的坐标为(x,y),顶点C的坐标为(x1,y1),∴y1=3𝑥12-1.①由三角形的重心坐标公式得𝑥=𝑥1-23,𝑦=𝑦1-23,∴𝑥1=3x+2,𝑦1=3y+2.代入①中,整理得y=9x2+12x+3.∴△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.第九章9.9曲线与方程-18-考点一考点二考点三思想方法思想方法利用参数法求轨迹方程【典例】已知抛物线y2=4px(p0),O为顶点,A,B为抛物线上的两动点,且满足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M点,求点M的轨迹方程.分析:(1)点M的运动是由A点的运动引起的,而A的变动又和OA的斜率有关.(2)若OA的斜率确定,A的坐标确定,M的坐标也确定,所以可选OA的斜率为参数.第九章9.9曲线与方程-19-考点一考点二考点三思想方法解:设点M的坐标为(x,y),直线OA的方程为y=kx,显然k≠0,则直线OB的方程为y=-1𝑘x.由𝑦=𝑘𝑥,𝑦2=4px,解得A点的坐标为4𝑝𝑘2,4𝑝𝑘.类似地可得B点的坐标为(4pk2,-4pk),从而知当k≠±1时,kAB=4𝑝1𝑘+k4𝑝1𝑘2-𝑘2=11𝑘-k.故得直线AB的方程为y+4pk=11𝑘-k(x-4pk2),即1𝑘-ky+4p=x,①第九章9.9曲线与方程-20-考点一考点二考点三思想方法直线OM的方程为y=-1𝑘-kx.②可知M点的坐标同时满足①②,由①及②消去k得4px=x2+y2,即(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),当k=±1时,容易验证M点的坐标仍适合上述方程.故点M的轨迹方程为(x-2p)2+y2=4p2(x≠0),它表示以点(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆.第九章9.9曲线与方程-21-考点一考点二考点三思想方法答题指导(1)本题通过引入参数、用参数法求解较为简捷.但很多考生找不到破解问题的切入口,无从入手.(2)个别考生由于参数选取不恰当,导致计算复杂,难以求出最终结论.(3)应用参数法求轨迹方程时,首先要选择恰当的参数,参数必须能刻画动点的运动变化,而且与动点坐标有直接的内在联系.如果需要,还应考虑消去参数的方便性,选定参数之后,即可当作已知数,运用轨迹条件,求出动点的坐标,即得轨迹的参数方程,消去参数即得轨迹的普通方程.第九章9.9曲线与方程-22-123答案解析解析关闭𝑂𝑃=(x,y),𝑂𝐴=(1,2),则𝑂𝑃·𝑂𝐴=x+2y=4.∴点P的轨迹方程为x+2y-4=0.答案解析关闭x+2y-4=041.在平面直角坐标系xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足𝑂𝑃·𝑂𝐴=4,则点P的轨迹方程是.第九章9.9曲线与方程-23-12342.设F1,F2是双曲线x2-y2=4的两个焦点,Q是双曲线上任意一点,从F1引∠F1QF2平分线的垂线,垂足为P,则P点的轨迹方程是.答案解析解析关闭如图,延长F1P交QF2于F'1点,连接PO.在△F1F2F'1中,|PO|=12|F2F'1|=12(|QF'1|-|QF2|)=12(|QF1|-|QF2|)=2,即|PO|=2,∴P点的轨迹方程为x2+y2=4.答案解析关闭x2+y2=4第九章9.9曲线与方程-24-12