L15多属性决策3

L15多属性决策3詹文杰（教授/博导）Office:华中科技大学管理学院611室Tel:[phone]Email:[e-mail]学习目标理想解法(TOPSIS)；基于估计相对位置的方案排队法。15多属性决策15.1逼近理想解(TOPSIS法)15.2基于估计相对位置的方案排队法15.1逼近理想解(TOPSIS法)TOPSIS又称双基点法，是逼近理想解的排序方法(TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution)的英文缩略。通过构造多指标问题的理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离负理想解两个基准，作为评价各可行方案的判据。理想解:是设想各指标属性都达到最满意值的解。负理想解:是设想各指标属性都达到最不满意值的解。理想解与负理想解示意图f1f2OA1A2A3AmA*A-设决策问题有m个可行方案a1,a2,…,am，两个评价指标f1、f2，不妨设二指标均为效益型指标。方案ai的二指标值记为(xi1,xi2)，于是方案ai可以用平面f1-f2上的点Ai(xi1,xi2)表示。记：21*211*1max,maximiimixxxx212111min,minimiimixxxx则：理想解为A*(x*1,x*2)；负理想解为A-(x-1,x-2)。理想解与负理想解的数学描述相对贴近度设方案ai对应的点Ai到理想点A*和负理想点A-的距离分别为：定义方案ai与理想解、负理想解的相对贴近度为212212**jjijijjijixxSxxS－－　和　),,2,1(**miSSSCiiii　　满足：0≤Ci*≤1；理想点:Ci*＝1;负理想点:Ci*＝0.方案逼近理想解而远离负理想解时Ci*→1。TOPSIS法的基本步骤:①用向量归一化法对决策矩阵进行标准化处理，得规范化矩阵：Z=(zij)m×n；②用适当的方法确定各决策指标的权重wj，得加权规范化矩阵：nmijjnmijzwvV③确定理想解和负理想解：**2*111,,,)}|min(),|max{(nijmiijmivvvJjvJjvV　　　　　理想解＊nijmiijmivvvJjvJjvV,,,)}|max(),|min{(2111　　　　　负理想解－效益型指标成本型指标TOPSIS法的基本步骤：（续）④计算各方案到理想解和负理想解的距离⑤计算各方案的相对贴近度Ci*，相对贴近度大者为优，小者为劣。)1(1212**mivvSvvSnjjijinjjiji　　　　　　　　　　　　　　　　　和　－－),,2,1(**miSSSCiiii　　例5:用TOPSIS法解”买车”问题效益指标成本指标备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158成本指标步骤1:向量规范化备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x10.65980.70040.6917x20.24740.50430.2075x30.41240.28020.4150x40.57740.42020.5534miijijijyyz12效益指标成本指标成本指标步骤2:加权规范阵备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x10.39590.24510.0346x20.14850.17650.0104x30.24740.09810.0208x40.34640.14710.0277nmijjnmijzwvV效益指标成本指标成本指标步骤3:理想解与负理想解V*=[0.1485,0.0981,0.0346]V—=[0.3959,0.2451,0.0104]**2*111,,,)}|min(),|max{(nijmiijmivvvJjvJjvV　　　　　理想解＊nijmiijmivvvJjvJjvV,,,)}|max(),|min{(2111　　　　　负理想解－效益型指标成本型指标步骤4:距离计算与排序S*S-C*10.28790.02420.077620.08210.25680.757730.09990.20920.676840.20400.11120.3527212212**jjijijjijixxSxxS－－　方案排序:x2x3x4x1　**iiiiSSSC例6:用TOPSIS法解研究生院排序问题。设决策人设定的各属性权重分别为(0.2,0.3,0.4,0.1)效益指标效益指标成本指标区间指标指标方案人均专著C1（本/人）生师比C2科研经费C3（万元/年）逾期毕业率C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.2步骤1:数据预处理(区间指标)效益指标效益指标成本指标指标方案人均专著C1（本/人）生师比C2科研经费C3（万元/年）逾期毕业率C4（%）A10.11.050004.7A20.20.833340002.2A30.60.333312603.0A40.30.666630003.9A52.80.02841.2效益指标步骤1:向量规范化人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.03460.66670.69560.648220.06930.55550.55650.303430.20780.22220.17530.413740.10390.44450.41740.537850.96960.0000.03950.1655miijijijyyz12效益指标效益指标成本指标效益指标步骤2:加权规范阵人均专著y1生师比y2科研经费y3逾期毕业率y410.00690.20000.27820.064820.01390.16670.22260.030330.04160.06670.07010.041440.02080.13330.16690.053850.19390.00000.01580.0165效益指标效益指标成本指标效益指标步骤3:理想解与负理想解V*=[0.1939,0.2000,0.2782,0.0165]V-=[0.0069,0.0000,0.0158,0.0648]步骤4:距离计算与排序S*S-C*10.19310.33000.630820.19190.26790.582730.29140.09560.247040.21950.20230.479650.33000.19310.3692方案排序:x1x2x4x5x3例7：用理想解法对购机问题进行决策。例4：某航空公司欲购买飞机按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这6个指标是，最大速度(f1)、最大范围(f2)、最大负载(f3)、价格(f4)、可靠性(f5)、灵敏度(f6)。现有4种型号的飞机可供选择，具体指标值如下表：指标(fj)机型(ai)最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a42.21800200005.0一般一般指标(fj)机型(ai)最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度a12.01500200005.5一般很高a22.52700180006.5低一般a31.82000210004.5高高a42.21800200005.0一般一般指标(fj)机型(ai)最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度a12.01500200005.559a22.52700180006.535a31.82000210004.577a42.21800200005.055例7：定性指标定量化处理例7：购机决策问题。①求决策矩阵的向量归一标准化矩阵Z;3727.04811.04608.05056.04394.05139.05217.06736.04147.05308.04882.04204.03727.02887.05990.04550.06591.05839.06708.04811.05069.05056.03662.04671.064）（ijzZ指标(fj)机型(ai)最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度a12.01500200005.559a22.52700180006.535a31.82000210004.577a42.21800200005.055例7：购机决策问题。②适当的方法确定各决策指标的权重为：计算加权规范矩阵：V=(wj·zij)m×n；　1118.00962.00461.00506.00439.01028.01565.01347.00415.00531.00488.00841.01118.00577.00599.00455.00659.01168.02013.00962.00507.00506.00366.00934.0)(nmijjzwV效益效益效益成本效益效益,)3.0,2.0,1.0,1.0,1.0,2.0(TW例7：购机决策问题。③确定理想解和负理想解；④计算各方案到理想解和负理想解的距离；⑤计算各方案的相对贴近度Ci*：0458.0,0920.0,0439.0,0984.01009.0,0580.0,1197.0,0546.04321*4*3*2*1SSSSSSSSCi*最大的方案最优，故满意方案为方案1。｝｛负理想解｝｛理想解＊1118.0,0577.0,0599.0,0455.0,0366.0,0841.02013.0,1347.0,0415.0,0531.0,0659.0,1168.0VV312.0,614.0,268.0,643.0*4*3*2*1CCCC15.2基于估计相对位置的方案排队法前面几节介绍的求解多属性决策问题的方法，包括加权和法，字典序法，加权积法和逼近理想点的排队法(TOPSIS法)，都需要有较多的初始信息，需要在事先给出决策矩阵，即需要给出每个备选方案的各属性的数值。但在很多实际问题中，总有一些属性无法或很难量化，这时就给不出决策矩阵，决策人只能给出每个目标下各方案的优劣次序。例如，选择干部问题，要给出每个候选人的德、才、体的属性值是令人伤脑筋的事，但要决策人按照德、才、体这几个方面分别排出候选人的优劣次序却并不困难。对这种可以给出序数信息，但给不出基数信息的问题，应当有适当的方法求解。Navarrete,1979提出的基于估计相对位置的方案排队法是求解这类问题的一种较好的方法。一、方案优先关系的表述首先根据各方案对在各目标下的优先次序（即序数信息）及各目标的权重进行排序。各方案间的优先关系可以用语言说明，也可以用第三章介绍和~等符号描述。但是它们都不如指向图直观，也不如0-1矩阵便于运算。⑴指向图指向图用小圆表示方案，称为节点；有向弧表示优先关系，箭头从表示优方案的节点出发指向代表劣方案的节点。例如，若xixk，则有向弧从节点xi出发，指向节点xk；若xi~xk，则在xi和xk之间画两条有向弧，一条从从xi指向xk，另一条从从xk指向xi；若方案xi与xk不可比，则节点xk和xi之间不画有向弧。图9.6所示为某个方案集中各方案的指向图