[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第三部分 专题突破3 立体几何整合 第2课时 [配套

第2课时折叠问题立体几何最重要的思想就是空间问题平面，当然也有许多将平面转换成立体几何的习题，如折叠问题，解此类问题最重要的要把握折叠前后边与角中的变与不变．例1：(2012年广东韶关二模)如图1(1)在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC边的中点，现将△ACD沿CD翻折，使得平面ACD⊥平面BCD[如图1(2)]．(1)求证：AB∥平面DEF；(2)求证：BD⊥AC；(3)设三棱锥A－BCD的体积为V1，多面体ABFED的体积为V2，求V1∶V2的值．(1)(2)图1(1)证明：在△ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AB∥平面DEF.(2)证明：∵平面ACD⊥平面BCD于CD，AD⊥CD，且AD⊂平面ACD，∴AD⊥平面BCD.又BD⊂平面BCD，∴AD⊥BD.又∵CD⊥BD，且AD∩CD＝D，∴BD⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD.∴BD⊥AC.(3)解：由(2)可知AD⊥平面BCD，得AD是三棱锥A－BCD的高．又∵E，F分别是AC，BC边的中点，∴三棱锥E－CDF的高是三棱锥A－BCD高的一半，三棱锥E－CDF的底面积是三棱锥A－BCD底面积的一半．故V1＝13·AD·SΔBCD.∴三棱锥E－CDF的体积VE－CDF＝14V1.∴V2＝V1－VE－CDF＝V1－14V1＝34V1.∴V1∶V2＝4∶3.【思维点拨】有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明．【突破训练】1．(2013年广东)如图2，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到如图3所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.22(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；图2图3(3)当AD＝23时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.解：(1)在等边三角形ABC中，AD＝AE也成立，∴DE∥BC，∵DE⊄平面BCF,BC⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥BC①，BF＝CF＝12.∵在三棱锥A－BCF中，BC＝22，∴BC2＝BF2＋CF2.∴ADDB＝AEEC，在折叠后的三棱锥A－BCF中∴CF⊥BF.②∵BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.(3)由(1)可知DE∥CF，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴VF－DEG＝VE－DFG＝13·12·DG·FG·GE＝13·12·13·13·32·13＝3324.探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．例2：(2012年广东茂名二模)如图4，圆柱的高为2，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求证：PB∥面EFG；(3)在线段BC上是否存在一点M，使得D到平面PAM的距离为2？若存在，求出BM；若不存在，请说明理由．图4(1)证明：∵PA是圆柱的母线，∴PA⊥圆柱的底面．∵CD⊂圆柱的底面，∴PA⊥CD.又∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD.而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD.图5又CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.(2)证明：如图5，取AB中点H，连接GH，HE.∵E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，∴GH∥AD∥EF.∴E，F，G，H四点共面．又H为AB中点，∴EH∥PB.又EH⊂面EFG，PB⊄平面EFG，∴PB∥面EFG.(3)解：假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为，则以2PAM为底，D为顶点的三棱锥的高为2，连接AM，则AM＝AB2＋BM2＝22＋BM2，由(2)，知PA⊥AM，∴SΔPAM＝12PA·AM＝12×222＋BM2＝4＋BM2.∴VD－PAM＝13·SΔPAM·2＝13·4＋BM2·2＝234＋BM2.∵SΔAMD＝12AD·AB＝12×4×2＝4，∴VP－AMD＝13SΔAMD·PA＝13×4×2＝83.∵VD—PAM＝VP－AMD，∴234＋BM2＝83.解得BM＝23.∵23＜4，∴在BC上存在一点M，当BM＝23时，使得点D到平面PAM的距离为2.【突破训练】2．(2013年北京昌平区二模)如图6，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD＝2，E，F分别为PC，BD的中点．(1)求证：EF∥平面PAD；(2)求三棱锥P－BCD的体积；(3)在线段AB上是否存在点G，使得CD⊥平面EFG？说明理由．图622(1)证明：连接AC∩BD＝F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CPA中，EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)解：如图D51，取AD的中点O,连接OP.图D51∵PA＝PD，∴PO⊥AD.∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.又PA＝PD＝22AD＝2，∴△PAD是等腰直角三角形，且AD＝22，PO＝12AD＝2，在正方形ABCD中，(3)存在点G满足条件，理由如下：设点G为AB中点，连接EG，FG.由F为BD的中点，所以FG∥AD，由(1)得EF∥PA，且FG∩EF＝F，AD∩PA＝A，所以平面EFG∥平面PAD.S△BCD＝12S正方形ABCD＝12×22×22＝4，VP－BCD＝13SΔBCD·PO＝13×4×2＝423.∴侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD∴CD⊥平面EFG.∴AB的中点G为满足条件的点.立体几何与函数的整合有关立体几何与函数的综合问题，一般是以立体几何为主体，求出有关的线段的长度、有关角度的三角函数、有关平面图形或旋转体的面积、几何体的体积，以建立函数关系式，再利用导数(基本不等式)求出最值．例3：(2013年广东广州一模)如图7,在三棱锥P－ABC中，∠PAB＝∠PAC＝∠ACB＝90°.(1)求证：平面PBC⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AB＝2，当三棱锥P－ABC的体积最大时，求BC的长．图8图7(1)证明：因为∠PAB＝∠PAC＝90°，所以PA⊥AB，PA⊥AC.因为AB∩AC＝A，所以PA⊥平面ABC.因为BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.因为∠ACB＝90°，所以BC⊥CA.因为PA∩CA＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)方法一：由已知及(1)所证可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，如图8，所以PA是三棱锥P－ABC的高．因为PA＝1，AB＝2，设BC＝x(0x2)，所以AC＝AB2－BC2＝22－x2＝4－x2.因为VP－ABC＝13S△ABC×PA＝16x4－x2＝16x24－x2≤16×x2＋4－x22＝13.当且仅当x2＝4－x2，即x＝2(x＝－2，舍去)时等号成立.所以当三棱锥P－ABC的体积最大时，BC＝2.方法二：由已知及(1)所证可知，PA⊥平面ABC，所以PA是三棱锥P－ABC的高.因为∠ACB＝90°，设∠ABC＝θ0θπ2，则BC＝ABcosθ＝2cosθ，AC＝ABsinθ＝2sinθ.所以S△ABC＝12×BC×AC＝12×2cosθ×2sinθ＝sin2θ.所以VP－ABC＝13S△ABC×PA＝13sin2θ.因为0θπ2，所以当θ＝π4，VP－ABC有最大值13.此时BC＝2cosπ4＝2.所以当三棱锥P－ABC的体积最大时，BC＝2.【突破训练】＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.(1)当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长；(2)若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE.图83．(2011年江西)如图8，在△ABC中，∠B＝π2，AB＝BCxf′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减解：(1)设PA＝x，(0x2)，则VA′－PBCD＝13PA·S底面PDCB＝13x2－x22，令f(x)＝13x2－x22＝2x3－x36(x0)，则f′(x)＝23－x22，230,323323,3由上表易知：当PA＝x＝233时，有VA′－PBCD取最大值．图D52A′PB为等腰直角三角形，A′B⊥PF，所以A′B⊥DE.(2)证明：作A′B的中点F，连接EF，FP，如图D52，由已知，得EF綊12BC綊PD⇒ED∥FP，