第三章力学位移和应变分析

第三章位移和应变分析主讲教师：韩复兴吉林大学物体受到外力的作用时，物体内各点与点之间有相对位移，因而物体的形状和尺寸就会发生变化，即产生变形。本章主要讨论三个问题：1.位移分量和应变分量及其间的关系；2.物体内一点的应变状态分析；3.坐标旋转时应变分量的表示公式，以及主应变和主方向；4.无旋变形和等体积变形;5.应变协调方程.§3-1位移分量和应变分量以及其间的关系一.位移分量物体受力后各点要发生位移，位移一般分为两部分，一部分是与物体变形相应的位移，称为相对位移；另一部分是与物体变形无关的位移，称为刚性位移。RruAA'xyz物体变形前，点M（x,y,z）变形后,该点由原来位置移至新的位置M’(x’,y’z’)MM称为点M的位移MM在x,y,z三轴上的投影u,v,w称为该点的位移分量符号规定：u,v,w与坐标轴正方向一致为正，相反为负。考虑外力作用下的两种状态：平衡状态：M点只随位置变化，不随时间变化；位移分量（u,v,w）只随位置变化，不随时间变化。运动状态：M点不仅随位置变化，而且随时间变化；位移分量（u,v,w）随位置和时间变化而变化。本章仅考虑平衡状态。根据连续性假设，物体上任一点M，当物体变形后，都一一对应于相应的点M’；位移分量是点坐标的单值连续函数。即：(,,)(,,)(,,)uuxyzvvxyzwwxyz由于运算的需要，假定位移分量具有连续到三阶的偏导数。二.应变分量分析物体内一点的应变状态，在物体内任一点取出一个平行于三个坐标平面的微分平行六面体（单元体）。设其三个棱边的长度分别为dx,dy,dz。由小变形假设，此单元体各投影面的变形情况与此微分体的变形情况的差别是微小的；因此，对于此微体，只要研究它在各个坐标面上投影的变形就可以了。考察物体内任意一微小线段•长度的相对改变正（线）应变•方向的相对改变剪（角）应变lll090ABABll'''xyzABABll'''CC'900xyz变形包括：1.各棱边长度的变化（伸长或缩短）用正应变表示2.棱边夹角的变化，用剪应变表示。沿坐标轴x,y,z方向的正应变分量为：;;dxdydzxyzdxdydzxyyxyxxyyzzyzyyzzxxzxzzxxyyxxyyx它与＝的含义不同，与并不是同一个剪应力，它们只是数值相等而已剪应变分量为微分各面间所夹直角的改变量。（用弧度表示）注意：即过物体内某点所引沿x及y方向的线元间夹角的改变量。xyyx与代表的完全是同一个量当微分平行六面体各棱边无限缩小而趋于M点时,,,,,xyzxyyzzx表示该点处的六个应变分量某点的应变状态可以由六个应变分量来表示。三.应变分量和位移分量间的关系将微分平行六面体的应变分量用该微体变形后在坐标平面上的投影来表明。以在oxy平面上的投影为例，研究应变分量与位移分量的关系：P点在x，y轴的位移分为：(,,),(,,)uuxyzvvxyzA，B两点相应的位移分量分是：(,,),(,,)Auuxdxyzvvxdxyz：(,,),(,,)Buuxydyzvvxydyz：按多元函数泰勒级数展开，略去二阶以上的无穷小量，则A点和B点的位移分量分别为,uvBudyvdyyy：,uvAudxvdxxx：一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；考察P点邻域内线段的变形：xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvdyPBdxPA变形前变形后ABBAuPPvdxxvvdxxuudyyuudyyvv注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvvPA的正应变：dyvdyyvvyvyPB的正应变：dxudxxuuxuxP点的剪应变：P点两直角线段夹角的变化yuxvxyyudyudyyuutantanxvdxvdxxvvxy整理得：yuxvyvxuxyyx——几何方程说明：（1）反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。（2）当u、v已知，则可完全确定；反之，已知，不能确定u、v。xyyx,,xyyx,,（∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）（3）xy——以两线段夹角减小为正，增大为负。xyOPPAdxBdyABuvdxxvvdyyuudxxuudyyvv,,xyzuvwxyz,,xyyzzxvuwvuwxyyzzx利用微体在另外两个坐标面上的投影，可以求得其他应变分量和位移分量之间的关系：此式称为几何方程，又称柯西（Cauchy）方程如果已知位移分量，由几何方程求偏导数可以得到应变分量如果已知应变分量，求位移分量比较复杂，积分需要确定积分常数，由边界条件决定应变分量的符号规定：正应变：正号的正应变表示沿该方向伸长，负号的正应变表示沿该方向缩短；剪应变：正号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度减小，负号表示沿两个坐标轴正向的两条直线间的角度增大。§3-2转动分量物体内无限邻近两点位置的变化,,,,,xyzxyyzzx表示该点处的六个应变分量一、转动分量分析物体内一点任一微分平行六面体的变形，考虑六个应变分量但是剪应变是相应的两个角的和xyyxyxxyyzzyzyyzzxxzxzzx如果两个角的和不变，则剪应变就不变；但是两个角可能相等，也可能不等，这样变形的几何形象（变位状态）就不同。为了使变形的几何形象表示完全，引入三个分量：转动分量研究物体内任一点M附近的变形状态，在M点处取立方微分体。研究变形后立方微分体中对角线MQ绕z轴的转角：11(90)45()22ooyxxyyxyxxyrQTRMSMQ1M1QQ11(90)45()22ooyxxyyxyxxyryudyudyyuuxytanyxtanxyxvdxvdxxvvyx1()2vurxyr是对角线MQ绕z轴转动的角度。,yxxyr则为正号，表示沿逆时针转动；反之，则沿顺时针转动。同理，可以得到立方微分体中对角线MS及MT分别绕y轴和x轴的转角公式；2xwvpyz2yuwqzx2zvurxy通常用两倍的转角表示：xyz，，xyz，，称为转动分量,,pqr代表此微分体的刚性转角故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变形的几何形象表示完全。QTRMS二、物体内无限邻近两点位置的变化A（x,y,z）B(x+dx,y+dy,z+dz)设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：u=u(x+dx,y+dy,z+dz)v=v(x+dx,y+dy,z+dz)w=w(x+dx,y+dy,z+dz)变形后，它们到A’和B’若A点的位移矢量用u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)表示则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示按多元函数泰勒级数展开，根据小变形假设，略去二阶以上的微分项，可以得到：uuuu=u+xyzvvvv=v+xyz=w+xyzdxdydzdxdydzdxdydz变形可以得到：u1u1u1u1uu=u+()()()()x2y2z2y2z1uv1w1v1vv=v()+()()()2yy2y2z21w1ww1w=w+()()+(2x2yz2vwvwdxdydzdydzxxxxvvwudxdydzdzdxxzyxyuvudxdydzzzw1w)()x2vdxdyzyz1111u=u+22221111v=v+22221111w=w+2222xxyxzzyxyyyzxzzxyzzyxdxdydzdydzdxdydzdzdxdxdydzdxdy利用矩阵表示111102222111102222111102222xxyxzzyxyyyzzxxzyzzyxuudxdxvvdydywwdzdz结论：与A点无限邻近一点B的位移由三部分组成1、随A点的一个平动位移，2、绕A点的刚性转动在B点产生的位移，3、由于A点邻近单元体的变形在B点产生的位移。AB§3-3物体内一点的应变状态,,,,,xyzxyyzzx表示该点处的六个应变分量问题：1、求过此点任意方向微分线段的正应变；2、求过该点任意两个方向微分线段间夹角的改变量。（注意剪应变的定义）一、求过A点沿N方向的任一微分线段AB的正应变;ABdrlmn微分段的方向余弦，，,,dxdrldydrmdzdrn该微分线段在直角坐标轴上的投影为：设A点的位移分量为u，v，w，则B点的位移为：uuuu=u+xyzvvvv=v+xyz=w+xyzdxdydzdxdydzdxdydzAB’BA’l，m，nl’，m’，n’drdr’物体变形后，微分线段AB变为A’B’，则A’B’在坐标轴上的投影为(B点的位移分量+AB的长度-A点的位移分量)uuudx+u-u=dx+xyzvvvdy+v-v=dy+xyz=dz+xyzdxdydzdxdydzdxdydz设线段AB的正应变为N,(1)NNdrdrdrdrdr222222uuuvvv(1)dx+dy+xyzxyz,,dxdrldydrmdzdrn2222uuuvvv(1)1+1+xyzxyz222uvwwvuwvu+++xyzyzzxxyNlmnmnlnlm222Nxyzyzzxxylmnmnnllm利用矩阵表示为：112211221122xxyxzNxyyyzxzyzzllmnmnxxyxzijxyyyzxzyzz111,,222xyxyyzyzxzxz()Nijllmnmn()ij称为应变张量二、求过A点的两条任意方向微分线段间夹角的改变量Adr1C’B’CBA’dr2’dr2dr1’CCAB的方向余弦为111,,lmnAC的方向余弦为222,,lmn111111111111(,,),,dxdydzABdxdydzlmndrdrdr222222222222(,,),,