高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题 三角函数(教师版)

-1-三角函数一、高考预测该专题是高考重点考查的部分，从最近几年考查的情况看，主要考查三角函数的图象和性质、三角函数式的化简与求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等变换以及三角函数、解三角形和平面向量在立体几何、解析几何等问题中的应用．该部分在试卷中一般1.考小题，重在基础运用考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）。2.考大题，难度明显降低有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法。解答题的形式进行考查，且难度不大，主要考查以下四类问题：（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题．高考备考是紧张的、同时也是收获的前夜。成功永远属于那些准备充分的人们．祝愿各位在2012年的高考中取得辉煌成绩。图象上升时与x轴的交点）为002xk，其他依次类推即可。3．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。3．函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是-2-2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。4．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。要点3：与三角函数的性质有关的问题1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像-3-2．三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，5．求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。要点4：三角变换及求值1．两角和与差的三角函数sincoscossin)sin(；22tantan21tan。3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。（1）降幂公式2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2。（2）辅助角公式-4-4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。要点5：正、余弦定理的应用1．直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝ca，cosA＝sinB＝cb，tanA＝ba。2．斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。RCcBbAa2sinsinsin。（R为外接圆半径）＝)sin(2sinsin2BABAc；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径）（5）△＝Rabc4；（6）△＝))()((csbsass；)(21cbas；（7）△＝r·s。-5-解斜三角形的主要依据是：设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C=π；（2）边与边关系：a+bc，b+ca，c+ab，a－bc，b－ca，c－ab；（3）边与角关系：正弦定理RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）；余弦定理c2=a2+b2－2bccosC，b2=a2+c2－2accosB，a2=b2+c2－2bccosA；它们的变形形式有：a=2RsinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。要点7：向量与三角函数的综合平面向量融数、形于一体,具有几何与代数的“双重身份”,从而它成为了中学数学知识交汇和联系其他知识点的桥梁.平面向量的运用可以拓宽解题思路和解题方法.在高考试题中，其一主要考查平面向量的性质和运算法则，以及基本运算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、数乘和内积的运算法则，理解其几何意义，并能正确的进行计算；其二是考查向量的坐标表示，向量的线性运算；其三是和其它数学知识结合在一起，如和曲线、数列等知识结合．向量的平行与垂直，向量的夹角及距离，向量的物理、几何意义，平面向量基本定理，向量数-6-量积的运算、化简与解析几何、三角、不等式、数列等知识的结合，始终是命题的重点．三、易错点点睛命题角度1三角函数的图象和性质[专家把脉]上面解答求出k的范围只能保证y=()fx的图像与y=k有交点，但不能保证y=()fx的图像与y=k有两个交点，如k=1，两图像有三个交点．因此，正确的解答要作出了y=()fx的图像，运用数形结合的思想求解．[对症下药]填(1，3)∵()fx=]2,(,sin],0(,sin3xxxx作出其图像如图从图5-1中可看出：当1k3时，直线y=k与()yfx有两个交点．2．要得到函数y=2cosx的图像，只需将函数y=2sin(2x+4)的图像上所有的点的()[考场错解]∵将函数y=2sin(2x+4)的所有点的横坐标缩短到原来的21倍，得函数y=2sin(x+4)的图像，再向右平行移动子个单位长度后得函数y=2sin(x+2)=2cosx的图像．故选B．将函数y=2sin(2x+4)变形为y=2sin2(x+4)．若将其图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后得函数y=2sin(x+8)的图像．再向右平行移动8个单位长度后得y=2cosx的图像，选D．-7-[对症下药]选C将函数y=2sin(2x+4)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4+4)=2cosx的图像．故选C．3．设函数()fx=sin(2x+)(-π0)，y=()fx图像的一条对称轴是直线x=8.(1)求；(2)求函数y=()fx的单调增区间；(3)画出函数y=()fx在区间[0，π]上的图像．[考场错解](1)∵x=8是函数y=()fx的图像的对称轴，∴sin(2×8+)=±1，∴4+=kπ+2k[专家把脉]以上解答错在第（2）小题求函数单调区间时，令2,2432kkx处，因若把432x看成一个整体u，则y=sinu的周期为2π。故应令432x，.,22,22Zkkk解得的x范围才是原函数的递增区间.-8-（3）由)432sin(xy知x08838587πy22-101022故函数y=f(x)在区间[0,π]上图像是5.求函数44sin23sincoscosyxxxx的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0,]上的单调递增区间。[考场错解]xxxxy44coscossin32sin2222(sincos)(sincos)xxxx3sin23sin2cos22sin(2)6xxxx故该函数的最小正周期是；[对症下药]∵函数y=sin4x+3sinxcosx-cos4x=(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+2sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6)．故该函数的最小正周期是π.当2x-6=2kπ-2时，即x=kπ-6时，y有最小值-9-y=sin(6-2x)，y=lgsin(2x+4))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+6，6-2x，2x+4,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题．y=Asin(ωx+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平专家会诊移．要注意顺序不同，平移单位也不同．一般地，y=Asib(ωx+)的图象向左平移a个单位得到y=Asin[ω(x+a)+]的图象，再把其上所有点的横坐标变为原来的w1，即得到y=Asin[ωw1+ωa+]的图像．命题角度2三角函数的恒等变形1．设α为第四象限的角，若513sin3sin，则tan2α=.[考场错解]填±43∵513cos22cossin2sincoscossinsin)2sin(sin3sin2∴.432tan54532cos2sin2tan.53)54(1212sin,542cos,582cos222cof-10-[考场错解](1)由sinx+cosx=51，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=(51)2，即2sinxcosx=-2524..125204)572)(2512([专家把脉]以上解答在利用三角恒等变形化简时出现了错误．即由xxxxxxsincoscossin1sin2sin22=sinxcosx(2-sinx-cosx)变形时认为2sin2=1+cosx，用错了公式，因为2sin2=1-cosx．因此原式化简结果是错误的．[对症下药]解法1(1)由sinx+cosx=51，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=251即2sinxcosx=-2524．∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+25492524.又∵-2x0，∴sinx0，∴cosx0，-11-∵-2x0，∴54cos53sinxx故sinx-cosx=-57(2)xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2