高考数学复习全套课件 第一章 第三节 简易逻辑

1.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.理解四种命题及其相互关系.3.掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义.1.逻辑联结词pq非pp或qp且q真真真假假真假假2.判断复合命题真假的方法复合命题的真假可通过下面的真值表来加以判定：假真真假真假真真假真假假[思考探究1]如何否定含有逻辑联结词“或”、“且”的命题？提示：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.3.四种命题及其关系用p和q分别表示原命题的条件和结论，用p和q分别表示p和q的否定.(1)若两个命题互为逆否命题，则它们有的真假性.(2)若两个命题为互逆命题或互否命题，则它们的真假性.相同没有关系[思考探究2]命题的否定和否命题一样吗？提示：不一样.若命题为“若p，则q”，则命题的否定为：若p，则q，仅否定结果，不否定条件；该命题的否命题为：若p，则q，是条件、结果都否定.4.充要条件的判定1.用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A.a、b都能被5整除B.a、b都不能被5整除C.a、b不都能被5整除D.a不能被5整除解析：用反证法证明命题应先否定结论.答案：B2.给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A.3B.2C.1D.0答案：C解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为假命题，故它的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题只有一个.3.设a，b∈R，已知p：a＝b；q：，则p是q成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：p：a＝b是q：等号成立的充分条件.答案：B4.设A、B为两个集合，下列四个命题：①A⊈B⇔对任意x∈A，有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔A⊉B；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是(把符合要求的命题序号都填上).解析：若A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则集合A、B满足A⊈B.但2∈A,2∈B，故①、②错.若取A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则集合A、B满足A⊈B，但A⊇B，故③是错误的.显然④正确.答案：④5.已知P：x＋y≠2009；Q：x≠2000且y≠9，则P是Q的条件.解析：“若P则Q”的逆否命题是x＝2000或y＝9⇒x＋y＝2009.∵逆否命题不成立，∴原命题不成立.显然其逆命题也不成立.答案：既不充分又不必要正确判断复合命题真假的步骤为(1)首先确定复合命题的形式；(2)然后指出其中简单命题的真假；(3)根据真值表(见基础回顾部分)判断这个复合命题的真假.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题、命题的否定，并判断它们的真假：(1)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0；(4)若x2＋y2＝0，则x、y全为0.[思路点拨][课堂笔记](1)原命题是真命题；逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为真命题；否命题：若q＞1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为真命题；逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q＞1，为真命题；命题的否定：若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题.(2)原命题是真命题；逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题；命题的否定：若x、y都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题.(3)原命题为真命题；逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0，是真命题；否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题；逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0，是真命题；命题的否定：若xy＝0，则x≠0且y≠0，是假命题.(4)原命题为真命题.逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0，为真命题；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0，为真命题；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0，为真命题；命题的否定：若x2＋y2＝0，则x、y不全为0，是假命题.充分条件与必要条件的判断方法有：1.利用定义判断(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p⇒q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(6)若p⇒q且q⇒p，则p是q的既不充分也不必要条件.2.利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件.[特别警示](1)注意两种说法“p是q的必要而不充分条件”与“q的必要而不充分条件是p”是等价的.(2)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围.指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m；[思路点拨][课堂笔记](1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝2＝r，所以直线与圆相切，反之；若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，故p是q的充分不必要条件.(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立；反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，p是q的充分不必要条件.(3)∵l∥α⇒l∥m，但l∥m⇒∥α，∴p是q的必要不充分条件.(4)∵x∈时，正切函数y＝tanx是单调递增的，∴当α∈，β∈，且α＜β时，tanα＜tanβ，反之也成立.∴p是q的充要条件.1.条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；2.证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性.证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明；3.证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[思路点拨][课堂笔记](1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根.设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x2＝1＞0.所以x1、x2同号.又因为x1＋x2＝－m≤－2，所以x1、x2同为负根.(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，所以M≥2.综合(1)(2)知命题得证.若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个正实根，求m的取值范围？解：∵方程x2＋mx＋1＝0有两个正实根，∴m≤－2.即m的取值范围为{m|m≤－2}.1.适宜用反证法证明的数学命题有：(1)结论本身以否定形式出现的一类命题；(2)关于唯一性、存在性的命题；(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(4)结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题；(5)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰.2.用反证法证明问题的一般步骤为：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立.(结论成立)[特别警示]用反证法证明问题时要注意以下二点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.已知a0，b0，且a＋b2，求证：中至少有一个小于2.[思路点拨]有关充要条件的题目在各省市的高考题中出现的比较多，通过对考试大纲和高考真题的分析研究，可以发现高考考题的常见类型为“直接考查条件和结论之间的充要关系”另一类题目，考查角度比较独特，如(2008·全国卷Ⅱ)平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②.这类题目开放性较强，尽管答案不唯一，但能充分考查考生的综合能力，在09年的福建高考试题中也有体现.[考题印证](2009·福建高考)设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A.m∥β且l1∥αB.m∥l1且n∥l2C.m∥β且n∥βD.m∥β且n∥l2【解析】∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.【答案】B[自主体验]函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋2a＋1的图象经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A．B．-1a-C．D．-2A0解析：∵f′(x)＝a(x＋2)(x－1)，∴函数f(x)在x＝－2和x＝1处取得极值，如图所示，要函数f(x)的图象经过四个象限的充要条件是答案：Bf(-2)·f(1)0,解之得在四个选项中只有1.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1B.若－1＜x＜1，则x2＜1C.若x＞1或x＜－1，则x2＞1D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：若原命题是：若p则q，则逆否命题为若q，则p，故此命题的逆否命题为：若|x|≥1，则x2≥1，即若x≥1或x≤－1，则x2≥1，答案：D2.命题“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A.0B.2C.3D.4解析：命题“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”是正确的，∴其逆否命题也正确.又∵命题“若C＝90°，则△ABC是直角三角形”的逆命题是“若△ABC是直角三角形，则C＝90°”是错误的.∴否命题也是错误的，∴只有两个命题正确.答案：B3.(2010·广州模拟)若条件p：|x＋1|≤4，条件q：x2＜5x－6，则“p”是“q”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析：∵p：－5≤x≤3，则p：x＜－5或x＞3；∵q：2＜x＜3，则q：x≤2或x≥3，∴p是q的充分不必要条件.答案：A4.用“充分条件、必要条件、充要条件”填空：(1)“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的；(2)“x＞1”是“1,x＜1”的；(3)“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的.解析：(1)∵a＋b＜0且ab＞0，∴a，b同号且都是负数.即a＋b＜0且ab＞0⇒a＜0且b＜0.又∵a＜0且b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0，即a＜0且b＜0⇒a＋b＜0且ab＞0，∴“a＋b＜0且ab＞0”是“a＜0且b＜0”的充要条件.(2)∵x＞1时，＜1成立，即x＞1⇒＜1，又∵＜1时，x未必大于1(如x＝－3)，即＜1⇒x＞1，∴“x＞1”是“＜1”的充分条件.(3)∵当x＝2时，x2－7x＋10＝4－14＋10＝0，∴x＝2⇒x2－7x＋10＝0；当x2－7x＋10＝0时，则x1＝2，x2＝5，∴x2－7x＋10＝0⇒x＝2，∴“x＝2”是“x2－7x＋10＝0”的充分条件.答案：(1)充要条件(2)充分条件(3)充分条件5.有三个命题：(