教师用 必修一 第1章 集合与和函数概念

1第一章集合与函数概念必修一第1章集合与函数概念一、知识点（一）集合123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,,,,.4/nAAABCABBCACABABxBxAABABABABABxxAxBAAAAABBA真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何（非空）集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUABAABBABABAABxxAxBAAAAAABBAABAABBABABBCardABCardACardBCardABCAxxUxACAACAAUCCAACABCACB，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，()()()UUUCABCACB，（二）函数2,,,ABAxByfBABxyxfyyx映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：A为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。那么就是的函数。记作函数及其表示函数().,,()()(),,1212()()(),,12yfxabaxxbfxfxfxababfxfxfxabab近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。定义域函数的三要素值域对应法则解析法函数的表示方法列表法图象法单调性函数的基本性质传统定义：在区间上，若如，则在上递增,是递增区间；如，则在上递减,是的递减区间。导数定义：在区间()1()2()()00,()0(),,()0(),,yfxIMxIfxMxIfxMMyfxabfxfxababfxfxabab最大值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最大值最值上，若，则在上递增,是递增区间；如则在上递减,是的递减区间。()1()2()()00(1)()(),()(2)()(),()yfxINxIfxNxIfxNNyfxfxfxxDfxfxfxxDfx最小值：设函数的定义域为，如果存在实数满足：（）对于任意的，都有；（）存在，使得。则称是函数的最小值定义域，则叫做奇函数，其图象关于原点对称。奇偶性定义域，则叫做偶函数，其()()()(0)()()1,()112yfxfxTfxTfxTTfxyyxaxyfxa图象关于轴对称。奇偶函数的定义域关于原点对称周期性：在函数的定义域上恒有的常数则叫做周期函数，为周期；的最小正值叫做的最小正周期，简称周期（）描点连线法：列表、描点、连线向左平移个单位：向右平平移变换函数图象的画法（）变换法,()11,()11,()1110111/()11)01ayyxaxyfxabxxybyybfxbxxybyybfxx移个单位：向上平移个单位：向下平移个单位：横坐标变换：把各点的横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变），即伸缩变换纵坐标变换：把各点的纵坐标伸长（或缩短（1)/()1221010(,)2(2)0000221010221010(2)001111200221010AyyAyfxxxxxxxxyyyfxxyyyyyyxxxxxxxxyfxxyyyyxxxxyyyyyyyyyy到原来的倍（横坐标不变），即关于点对称：关于直线对称：对称变换关于直线对称：()11()1fxxxyxyfxyy关于直线对称：二、摸底与检测1.若集合{|1}Xxx，下列关系式中成立的为（D）A．0XB．0XC．XD．0X32．下列说法中，正确的是（D）A．任何一个集合必有两个子集；B．若,AB则,AB中至少有一个为C．任何集合必有一个真子集；D．若S为全集，且,ABS则,ABS3．若集合,,Mabc中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（C）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形4.满足条件{1,2}A{1,2,3,4}的集合A的个数是(B)A.1B.3C.2D.45.全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，4，5}，B={1，3，6}，那么集合{2，7，8}是（C）A.ABB.BAC.BCACUUD.BCACUU6.如下图所示，不可能表示函数的是（C）7.函数y＝－x2－3x＋4x的定义域为(A)A．[－4,0)∪(0,1]B．[－4,0)C．(0,1]D．[－4,1]8.若x为实数，则函数235yxx的值域为（C）A.(,)B.7,C.5,D.0,9．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是(C)．A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．先递增再递减10.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈［-2,+∞)时为增函数，当x∈(-∞,-2］时是减函数，则f(1)等于（D）A.1B.9C.-3D.1311.已知函数2()=(0)fxaxbxca是偶函数，那么32()=gxaxbxcx（A）ABCD12．若)(xf的定义域为[0，1]，则)2(xf的定义域为（B）A．[0，1]B．[2，3]C．[－2，－1]D．无法确定13.已知12xxf，则1xf等于（C）A.2x-1B.x+1C.2x+1D.114.已知12xxxf，则1ff的值为（C）（Ａ）xy（Ｄ）０y（Ｂ）０yx（Ｃ）y4A.2B.3C.4D.-115.已知，若f(x)=3，则x的值是(D)A．1B．1或C．1，或±3D．三、典型例题与对应练习要点一集合的基本概念【例1】已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}【命题立意】集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．【标准解析】M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．【误区警示】①本题求M∩N，经常发生解方程组21,1.yxyx0,1,xy得1,2.xy或从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的【变式训练】集合0122xaxxA中有一正一负两个元素，求a的值.【标准解析】因为集合有两个不同元素,所以0a且440a,设两个元素分别是12,xx,因为两个元素符号相反,所以1210xxa.【技巧点拨】本题的实质是一元二次方程解的问题,解题思路有两种,一种是利用判别式和韦达定理;另一种是利用二次函数图象数形结合.【答案】由题意知,方程2210axx为一元二次方程,且有一正一负根,设两个根分别5是12,xx,则由12044010aaxxa可得0a.要点二集合的关系【例2】若A={2，4,3a－22a－a＋7},B={1,a＋1,2a－2a＋2,－12(2a－3a－8),3a＋2a＋3a＋7}，且A∩B={2，5}，则实数a的值是________．【命题立意】本题考查了集合的表示，集合语言的理解、集合的运算，解一元一次、二次方程和分类讨论思想的应用.【标准解析】∵A∩B={2，5}，∴3a－22a－a＋7=5,由此求得a=2或a=±1．A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．当a=1时，2a－2a＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a=1．当a=－1时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a=－1．当a=2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．故a=2为所求．【误区警示】集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，强化对集合元素互异性的认识．【变式训练】已知集合2320Axxx,210Bxxaxa，且ABB则a的值为______．【标准解析】集合,AB都表示方程的解集，集合1,2A,是确定，有四个子集，由ABBBA而推出B有四种可能，进而求出a的值．【技巧点拨】集合B是集合A的子集，集合A的子集有四个，故B有四种情况，分别讨论即可，简易入手，思路清晰.集合B不要写成B=1,1a，因为1a可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．6要点三集合的运算【例3】集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x0}，求A∪B和A∩B．【命题立意】集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解【标准解析】∵A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}，B={x|x2＋3x0}={x|x－3，或x0}．如图所示，∴A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x－3，或x0}=R．A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x－3，或x0}={x|－6≤x＜－3，或0x≤1}．【误区警示】本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果．【变式训练】设全集U={x|0x10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩CUB={1，5，7}，CUA∩CUB={9}，则集合A、B是________．【标准解析】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．【技巧点拨】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出．要点