数学实验论文

数学实验论文——渡江模型队员姓名学号1231渡江模型摘要本文针对渡江问题，主要运用了差量转移的方法。结合优化模型与线性微积分算法，得出了最佳渡河方案并预测了不同游泳速度以及不同的水流速度下，参赛者取胜的最佳策略。对于问题1，因为游泳者的速度可看作成人在静水中的速度和水流速度的矢量合成，我可将速度分解为平行于岸的方向和垂直于岸的方向，这样我们就可以分别在平行于岸和垂直于岸方向研究游泳者的运动，因为游泳者在静水中的速度方向固定不变，要使用时尽量少，可假定游泳者刚好到达终点，根据达到终点时，两个方向所用的时间相等可建立方程求速度v，在已知速度的大小的情况下，同理可得到人游泳的起始方向。对于问题2，游泳者的静水中速度的方向已经确定为垂直于岸了，可简化上问的模型，游泳者刚好达到终点时有一个临界速度v，若游泳者的速度小于v，则不能到达，反之，则能到达终点。在问题1中的模型的基础上，已知游泳者在静水中的速度和水流速度，根据达到终点时，垂直于岸方向的用时大于平行于岸方向上的用时，建立方程，就可以求出合理角度的范围，该角度范围于总的角度的比值，就是成功到达终点的概率，在参赛者足够多的情况下，成功到达的人数比例也大致相同。1934年沿长江水流方向的距离为l=320*231^(1/2)1000（程序见附录一），很多人均因角度选取不合适而被冲到终点下游。对于问题3，当水流速度分段分布时，研究游泳方向的问题,由于水流速度永远只沿平行河岸方向，因此竖直方向速度永远等于定值，所以人在竖直方向保持匀速直线运动，可算出各段的时间关系。在垂直于岸方向，建立时间与距离d的方程；在平行于岸方向，建立时间与水平位移s的方程，就可解出各段时间和游泳者的速度与岸的夹角。对于问题4，我们建立了另一个模型，假设人的游泳速度（如1.5m/s）始终沿垂直河岸方向时，可以求得到达对岸的时间约为733.3s，但在水平方向的位移为1459.2m1000m。将多出的459.2m平均分配到应水平游过的1000m中，即将原水平方向每一点的速度都变为原来的1000/1495.2。假定游泳者的方向随着离岸的垂直距离而线性改变，就可找到一条路径，刚好到达终点。关键词：运动的合成与分解差量转移法几何关系法矢量合成法2一、问题重述“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃,江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。假设在竞渡区域两岸为平行直线,它们之间的垂直距离为1160米,从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。请你们通过数学建模来分析上述情况,并回答以下问题:1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。2.在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游,他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。3.若流速沿离岸边距离的分布为(设从武昌汉阳门垂直向上为y轴正向)：米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(yyyyv游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计1160m1000m长江水流方向终点:汉阳南岸咀起点:武昌汉阳门3他的成绩。4.若流速沿离岸边距离为连续分布,例如1160960)1160(20028.296020028.2200020028.2)(yyyyyyv，，，或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。二、问题1的分析、建模与求解2.1问题1的分析与建模v0水速为d垂直于岸边的距离为s平行于岸边的位移为人的速度为v出发方向与河岸平行方向夹角为θ整个运动时间为t起点至终点的直线距离为l如图所示[1]：图形一①分析2002年冠军的游泳速度的大小和方向：由于在游泳过程中水流速度，游泳速度的大小和方向始终不变，因此第一名的路线为从起点到终点的最短距离即直线距离。②分析v=1.5m/s的人所应选择的游泳方向及用时,由于速度的大小已经确定，速度的方向未定，要该人到达终点的时间最短，该人的游泳路线也是从起点到终点的直线。ds0v终点起点vθ42.2问题1的求解与结果分析2.2.1求解方法由题意，人在沿岸方向的时间和垂直于岸方向所用时间相等可建立如下方程sincos0vdtvvs（程序见附录二）①和角度代入方程可得到速度v848,1160,1000,/89.10s　tm　dm　ssmv②　sm　vm　dm　ssmv和角度代入方程可求得时间t/5.1,1160,1000,/89.102.2.2求解结果①6.62,/54.1　sm　v可求得②s，　t　9102.58可求得2.2.3结果解释与分析①获得第一名的游泳者的速度为1.54m/s，与岸的夹角为6.62。②可为该游泳者选择的方向为与岸的夹角2.58，总用时为910s三、问题2的分析、建模与求解3.1问题2的分析与建模图形二ds0v终点起点v5①．若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则模型可简化为：v0vdtvs可求出一个临界速度v恰好到达终点，大于v则可到达，小于v则不可到达终点。②假定开始人以某一初速度沿固定方向向对岸游，则只要满足人刚到达对岸的地点在终点的上游，就可以认为此人能够到达终点。假定在开始时所有选手向各个方向起跳的机率相同。（的范围是]180,0[）考虑成功到达终点的概率时，我们只需研究某一合理角度范围即可。我们假设v=1.5m/s为所有选手的普遍速度。若选手可以到达终点，则模型应满足的条件是：sincos0vdvvs3.2问题2的求解与结果分析3.2.1求解方法①建立方程：vdtvs0m　dm　ssmv1160,1000,/89.10代入方程即可②解不等式：sincos0vdvvssm　vsm　vm　dms/5.1,/89.1,1160,10000代入不等式即可3.2.2求解结果①s　tsm　v1.529,/19.2可求得②%3.19%100*1804.232.582.584.23：　：　终点的理论概率为因此所有选手成功到达解不等式可推导出比赛结果成功人数很少的原因很大可能就是选择角度不对，所以能够成功到达终点6的选手的条件即为模型的条件，即：sincos0vdvvs3.2.3结果解释与分析①2009年罗马世锦赛，张琳以7分32秒12获得男子800米自由泳冠军，并打破世界纪录，他的平均速度为1.72sm/，由此可以看出若游泳者始终以和岸边垂直的方向游所需的速度大于目前为止世界上人们所能达到的最大速度。显然这是不成立的，因此可以得出结论：若游泳者始终以和岸边垂直的方向游，则无法到达终点。②。，：　合同样与理论情况基本吻比为实际情况当年成功百分%3.18%100*18634四、问题3的分析、建模与求解4.1问题3的分析与建模当水流速度分段分布时，研究游泳方向的问题由于水流速度永远只沿平行河岸方向，因此竖直方向速度永远等于sinv，所以人在竖直方向保持匀速直线运动，可算出各段的时间关系。米米秒，米米米秒，米米米秒，米1160960/47.1960200/11.22000/47.1)(yyyyv7020040060080010000200400600800100012001400图形三ttttttt3218.32002009604.2问题3的求解与结果分析4.2.1求解方法根据以上图示和模型可列出方程组：stvvtvvtvvdtttv)cos(8.3)cos()cos()8.3(sin321代入数据可得：10008.3)cos5.111.2(2)cos5.147.1(11608.5sin5.1ttt4.2.2求解结果从而可以得出：st1.3373.2311st9.1562.58224.2.3结果解释与分析因为要用最少的时间到达终点，所以取T=5.8t=784.5s，2.588所以方向为与平行河岸方向夹角为2.58，经历总时间为784.5s五、问题4的分析、建模与求解5.1问题2的分析与建模当水流速度呈线性变化时，研究游泳者的速度和方向1160960)1160(20028.296020028.2200020028.2)(yyyyyyv，，，①．当游泳者的游泳方向始终保持不变时:在水平方向，当2000y，水流速度呈线性变化[2]：)/(cos14.1)/(cos28.2cos)/(cos14.12)cos0()cos/28.2(2)cos()cos(1302minmax1sm　　vvvsm　　vvvvsm　　vvvsmvvvvv在竖直方向，游泳者始终保持匀速sinv：ttttttt3218.3200200960②．游泳者的游泳方向随着水流速度的线性变化而变化时:假设人的游泳速度（如1.5m/s）始终沿垂直河岸方向时，可以求得到达对岸的时间约为733.3s，但在水平方向的位移为1459.2m1000m，因此无法到达终点。将多出的459.2m平均分配到应水平游过的1000m中，即将原水平方向每一点的速度都变为原来的2.14591000。5.2问题2的求解与结果分析5.2.1求解方法①根据模型，则有[3]：dtttvstvtvtv)(sin3213322119代入各数据可得：1160)8.3(sin1000)cos14.1(8.3)cos28.2()cos14.1(tttvtvtvtv②当米米2000y时：24220721.5100000076.60026.0sin2sin002392.05.10035875.0cos0035875.0,0078125.02.1459100020028.2yy，xxyxtvytvyyvvyvxv　vyyvxxxx①②联立可导出　　～②，　，　　　～①人人米米米和米1160960960200yy时的情况同理可以求出02004006008001000020040060080010001200xy0.71752(1160-y)2/90000+...-1=0图形四5.2.2求解结果①根据题设，取一合理范围内的速度值，即当v=1.5m/s时，代入模型可求得：s　　Tt＝Ｔ　　st　　　st１7.9076.19728.55.1564.581.3401.2322211②对于游泳者来说，他的游泳速度方向相当于根据自己所在的y值而时刻改变，当y=0时方向垂直河岸，90，当米