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、一元二次方程的一般式:20(0)axbxca,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数项。2、一元二次方程的解法(1)直接开平方法(也可以使用因式分解法)①2(0)xaa解为:xa②2()(0)xabb解为:xab③2()(0)axbcc解为:axbc④22()()()axbcxdac解为:()axbcxd(2)因式分解法:提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如:20(,0)()0axbxabxaxb此类方程适合用提供因此,而且其中一个根为0290(3)(3)0xxx230(3)0xxxx3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx注意:提取整个因式的方法非常常见,解题的过程中一定要认真观察。22694(3)4xxx2241290(23)0xxx24120(6)(2)0xxxx225120(23)(4)0xxxx十字相乘法非常实用,注意在解题的过程中多考虑。(3)配方法①二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示:2220()()022PPxPxqxq示例:22233310()()1022xxx②二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法同上:22220(0)()0()()022bbbaxbxcaaxxcaxacaaa222224()()2424bbbbacaxcxaaaa示例:22221111210(4)10(2)2102222xxxxx备注:实际在解方程的过程中,一般也只是针对1a且b为偶数时,才使用配方法,否则可以考虑使用公式法来更加简单。(4)公式法:一元二次方程20(0)axbxca,用配方法将其变形为:2224()24bbacxaa①当240bac时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实根:21,242bbacxa②当240bac时,右端是零.因此,方程有两个相等的实根:1,22bxa③当240bac时,右端是负数.因此,方程没有实根。注意:虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简单的,一定要注意方法的选用。备注:公式法解方程的步骤:①把方程化成一般形式:一元二次方程的一般式:20(0)axbxca,并确定出a、b、c②求出24bac,并判断方程解的情况。③代公式:21,242bbacxa(要注意符号)备注:一元二次方程的解题步骤:①首先看方程中,,abc是否可以同时除以或者乘以一个非零的数,使得方程更加方便计算:如:210100500xx(同除于10)21050xx这样更加方便计算。21130244xx(同乘于4,这样二次项的系数为正整数,更方便计算)2230xx②四种求方程方法的一定要合理选用,依次按直接开平方、因式分解,配方法和公式法的顺序考虑选用。③可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验,同时对于应用题中,一定要考虑根的实际意义,是否所有的根都是方程的解。3、一元二次方程的根与系数的关系法1:一元二次方程20(0)axbxca的两个根为:221244,22bbacbbacxxaa所以:22124422bbacbbacbxxaaa,22222122244()(4)422(2)4bbacbbacbbacaccxxaaaaa定理:如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx,那么:1212,bcxxxxaa法2:如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx;那么()()0axbxcaxxxx两边同时除于a,展开后可得:2212120()0bcxxxxxxxxaa12bxxa;12cxxa法3:如果一元二次方程20(0)axbxca定的两个根为12,xx;那么21122200axbxcaxbxc①②得:12bxxa(余下略)常用变形:222121212()2xxxxxx,12121211xxxxxx,22121212()()4xxxxxx,2121212||()4xxxxxx,2212121212()xxxxxxxx,22111212121222212()4xxxxxxxxxxxxxx等练习:【练习1】若12,xx是方程2220070xx的两个根,试求下列各式的值:(1)2212xx;(2)1211xx;(3)12(5)(5)xx;(4)12||xx.【练习2】已知关于x的方程221(1)104xkxk,根据下列条件,分别求出k的值.(1)方程两实根的积为5;(2)方程的两实根12,xx满足12||xx.【练习3】已知12,xx是一元二次方程24410kxkxk的两个实数根.(1)是否存在实数k,使12123(2)(2)2xxxx成立?若存在,求出k的值;若不存在,请您说明理由.(2)求使12212xxxx的值为整数的实数k的整数值.4、韦达定理相关知识(1)若一元二次方程)0(02acbxax有两个实数根21xx和,那么21xx,21xx。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理。(2)如果一元二次方程02qpxx的两个根是21xx和,则21xx,21xx。①②(3)以21xx和为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212xxxxxx(4)在一元二次方程)0(02acbxax中,有一根为0,则c;有一根为1,则cba;有一根为1,则cba;若两根互为倒数,则c;若两根互为相反数,则b。(5)二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式cbxax2的因式时,如果可用公式求出方程)0(02acbxax的两个根21xx和,那么))((212xxxxacbxax.如果方程)0(02acbxax无根,则此二次三项式cbxax2不能分解。5、一类特殊的二元一次方程的求解方法再探讨20(0)axbxca的两个根为12,xx,那么:(1)220(0)pxpbxcp的两个根为:1xp,2xp(原因留给大家自行思考)例1:24935120xx2497,3575先求出方程:25120xx的两根为:1,25732x,故原方程的根为:1,21573573()7214x(2)220(0)xqbxqcq的两个根为:1qx,2qx例2:27003000000xx27001007,300000100(30)先解得方程:27300xx的两根为:1210,3xx,所以原方程的两个解为:12100(10)1000,1003300xx6、应用题(1)平均增长率的问题:(1)naxb其中:a为基数,x为增长率,n表示连续增长的次数,b表示增长后的数量。(2)面积问题:注意平移思想的使用7、换元法例:222()5()60xxxx解:令2yxx则原方程可化为:2560yy解得:12y23y①当22xx时,求得:121,2xx②当23xx时,求得:3,41132x(原方程共有4个解)练习:221211xxxx考点精析考点一、概念(1)定义:①只含有一个未知数........,并且②未知数的最高次数是.........2.,这样的③整式方...程.就是一元二次方程。(2)一般表达式:)0(02acbxax⑶难点:如何理解“未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0”;②未知数指数为“2”;③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题:例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A12132xxB02112xxC02cbxaxD1222xxx变式:当k时,关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程,则m的值为。针对练习:★1、方程782x的一次项系数是,常数项是。★2、若方程021mxm是关于x的一元一次方程,⑴求m的值;⑵写出关于x的一元一次方程。★★3、若方程112xmxm是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是。★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程,则下列不可能的是()A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解。⑵应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题:例1、已知322yy的值为2,则1242yy的值为。例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0,则a的值为。说明:任何时候,都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca,则此方程必有一根为。说明:本题的关键点在于对“代数式形式”的观察,再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知ba,是方程042mxx的两个根,cb,是方程0582myy的两个根,则m的值为。针对练习:★1、已知方程0102kxx的一根是2,则k为,另一根是。★2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。⑴求k的值;⑵方程的另一个解。★3、已知m是方程012xx的一个根,则代数式mm2。★★4、已知a是0132xx的根,则aa622。★★5、方程02acxcbxba的一个根为()A1B1CcbDa★★★6、若yx则yx324,0352。考点三、解法⑴方法:①直接开方法;②因式分解法;③配方法;④公式法⑵关键点:降次类型一、直接开方法:mxmmx,02※※对于max2,22nbxmax等形式均适用直接开方法典型例题:例1、解方程:;08212x216252x=0;;09132x例2、解关于x的方程:02bax例3、若2221619xx,则x的值为。针对练习:下列方程无解的是()A.12322xxB.022xC.xx132D.092x类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或※方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,※方程形式:如22nbxmax,cxaxbxax,0222aaxx典型例题:例1、3532xxx的根为()A25xB3xC3,2521xxD52x例2、若044342yxyx,则4x+y的值为。变式1:2222222,06b则ababa。变式2:若032yxyx,则x+y的值为。变式3:若142yxyx,282xxyy,则x+y的值为
本文标题:“一元二次方程”提高培优专题
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