【优化方案】2012高中数学-第2章本章优化总结课件-新人教B版必修2

本章优化总结专题探究精讲章末综合检测本章优化总结知识体系网络知识体系网络专题探究精讲数形结合思想通过本章的学习，体会到了“数形结合”的思想方法及其解决几何问题的有效性和普遍性．在解有关圆的问题时，充分利用圆的几何性质，会使问题的解决变得简捷直观．例1已知点P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值；(3)求x－y的最大值与最小值；(4)若A(－1,0)，B(1,0)，求|PA|2＋|PB|2的最大值与最小值．【分析】将已知条件中的关系式视为圆的方程，设yx＝k，则y＝kx表示直线，照此方法，此题可解．【解】将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以C(3,2)为圆心，半径r＝1的圆．(1)设yx＝k，得y＝kx，∴k表示过原点的直线的斜率，如图(1)所示．当直线y＝kx为圆C的切线时，yx取得最值，∴|3k－2|1＋k2＝1，解得k＝3±34.故yx的最大值为3＋34，最小值为3－34.(2)设u＝x2＋y2，则u为圆C上的点到原点的距离，如图(2)所示，连接OC并延长交圆于A、B两点，圆心C(3,2)与原点O的距离是|OC|＝13.∴|OA|＝13－1，|OB|＝13＋1.∴u2max＝|OB|2＝(13＋1)2＝14＋213，u2min＝|OA|2＝(13－1)2＝14－213.故x2＋y2的最大值为14＋213，最小值为14－213.(3)设x－y＝m，即y＝x－m，m为直线在y轴上截距的相反数，如图(3)所示，则当直线y＝x－m与圆C相切时，x－y取得最值．∵|3－2－m|2＝1，∴m＝1±2.故x－y的最大值为1＋2，最小值为1－2.(4)设|PA|2＋|PB|2＝m2，则有x2＋y2＝m2－22.∵P(x，y)在圆(x－3)2＋(y－2)2＝1上，∴m22.∴x2＋y2＝m2－22表示过圆C上的点且以原点为圆心，以m2－22为半径的圆．由图(4)可知，当圆x2＋y2＝m2－22与圆C相切时，|PA|2＋|PB|2有最值．又∵|OC|＝13，∴m2－22±1＝13，解得m2＝30±413.∴|PA|2＋|PB|2的最大值为30＋413，最小值为30－413.【点评】有些看似是纯代数问题，直接求解不易解决，若挖掘其几何意义，利用数形结合，往往会柳暗花明，使问题轻松获解．分类讨论思想在解决直线的斜率、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系问题时常常用到分类讨论的思想．例2已知一曲线是与两定点(0,0)和(3,0)的距离之比为m(m0)的点的轨迹，求此曲线方程并说明是什么曲线．【分析】本题是求轨迹方程并探求曲线类型的问题，依据题意，可采取直接法求轨迹方程，但要注意对参数进行讨论．【解】设所求曲线上任一点为P(x，y)，由题意，得x2＋y2x－32＋y2＝m，即(m2－1)x2＋(m2－1)y2－6m2x＋9m2＝0.当m＝1时，x＝32，其轨迹为两定点的中垂线；当m≠1时，方程可化为(x－3m2m2－1)2＋y2＝(3mm2－1)2，其轨迹是以(3m2m2－1，0)为圆心，以|3mm2－1|为半径的圆．【点评】对参数进行讨论要做到不重不漏．转化与化归思想转化与化归思想是指把待解决的问题通过转化归结为已有知识范围内可解决的问题的一种思维方式．在解析几何中主要应用于直线和圆的方程、最值问题等代数与几何相互转化的问题之中．可使问题直观化、简单化，从而快速解决问题．例3从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P(x1，y1)向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．【分析】首先求出满足|PM|＝|PO|的点P的轨迹，然后从中找出使|PO|最小的点P即可．【解】将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，得(x－2)2＋(y－3)2＝12，∴圆心为C(2,3)，半径r＝1.∵切线PM与半径CM垂直(如图所示)，∴|PM|＝|PC|2－|CM|2＝x1－22＋y1－32－1.由|PM|＝|PO|，得：x21＋y21＝x1－22＋y1－32－1.化简整理，得2x1＋3y1＝6，故满足|PM|＝|PO|的P点轨迹是方程2x＋3y－6＝0表示的直线．∴|OP|的最小值为O点到此直线的距离，即d＝613.由x21＋y21＝3613，2x1＋3y1＝6，得x1＝1213，y1＝1813，即满足题设条件的P点为(1213，1813)．【点评】把待解决的知识转化为已有知识范围内，使问题变得更加容易解决．待定系数法待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法．例4根据下列条件，求直线方程．(1)已知直线经过点P(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.【解】(1)设所求直线的方程为xa＋yb＝1(a≠0，b≠0)，依题意，得－2a＋2b＝1，12|ab|＝1，解得a＝2，b＝1，或a＝－1，b＝－2.所以所求的直线方程是x2＋y＝1或x－1＋y－2＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.(2)设所求直线的方程为(3x－2y＋1)＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得－13·－3＋λ3λ－2＝－1，解这个方程，得λ＝310.故所求直线的方程是3x－y＋2＝0.【点评】(1)在利用直线的特殊形式求直线方程时，往往将斜率k和截距a、b作为参数引入；(2)求与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0，将m，n作为参数引入；(3)求过两相交直线的交点的直线，可利用直线系方程，设它的方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，将λ引作参数，通过确定这些参数的值来解题．