【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件：14.1-导数的概念及基本运算(共3

第十四章导数目录2014高考导航考纲解读1.了解导数概念的某些背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义．理解导函数的概念．2.熟记基本导数公式(C，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)．掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.3.理解可导函数的单调性与其导数的关系．了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)．会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值.§14.1导数的概念及基本运算本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．导数的概念如果函数y＝f(x)在x0处的增量Δy与增量Δx的比值，当Δx→0时的极限lim△x→0ΔyΔx＝lim△x→0fx0＋Δx－fx0Δx存在，则称f(x)在点x0处可导，并称此极限值为函数y＝f(x)在点x0处的______，记为f′(x0)或y′|x＝x0.导数目录2．导函数函数y＝f(x)在区间(a，b)内每一点的导数都存在，就说f(x)在区间(a，b)内可导，其导数也是(a，b)内的函数，又叫做f(x)的_______，记作f′(x)或y′x.函数f(x)的导函数f′(x)在x＝x0时的函数值f′(x0)就是f(x)在x0处的导数．3．导数的意义(1)设函数y＝f(x)在点x0处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点M(x0，y0)处的切线斜率．(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的_________．(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的加速度．导函数瞬时速度目录4．几种常见的函数导数(1)C′＝____(C为常数)．(2)(xn)′＝__________(n∈Q)．(3)(sinx)′＝__________.(4)(cosx)′＝___________.(5)(ex)′＝______.(6)(ax)′＝__________.(7)(lnx)′＝_______.(8)(logax)′＝__________.0nxn－1cosx－sinxexaxlna1x1xlna目录5．两个函数导数的四则运算若u(x)、v(x)的导数都存在，则：(1)(u±v)′＝_____________；(2)(u·v)′＝_____________；(3)(uv)′＝u′v－uv′v2(v≠0)．6．复合函数的导数设u＝θ(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u＝θ(x)处可导，则复合函数f[θ(x)]在点x处可导，且f′(x)＝f′(u)·θ′(x)，即y′x＝y′u·u′x.u′±v′uv′＋u′v目录思考探究1．函数y＝|x|在x＝0处连续吗？在x＝0处可导吗？提示：由连续定义可知，y＝|x|在x＝0处连续，但不可导．因为limΔx→0－f0＋Δx－f0Δx＝limΔx→0－－ΔxΔx＝－1，limΔx→0＋f0＋Δx－f0Δx＝limΔx→0＋ΔxΔx＝1.∴limΔx→0ΔyΔx不存在．故不可导．目录2．y＝x3在原点处存在切线吗？提示：存在．y＝x3在x＝0处的导数为0即在原点处的切线的斜率为0，故切线为x轴．目录课前热身1．(教材改编)曲线y＝13x3在点(1，13)处的切线的斜率为()A.13B．3C．2D．1答案：D目录2．若f(x)＝ax2－1，且f′(1)＝2，则a的值为()A．1B．2C.2D．0答案：B目录3．若f(x)＝sinx，则[f′(x)]′＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosx答案：C4．已知曲线y＝x3，则过曲线上一点P(1,1)的曲线的切线方程为________．答案：3x－y－2＝05．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2.则x0＝__________.答案：e目录考点探究讲练互动考点突破考点1有关导数的概念导数是由极限求出来的，所以导数与极限有必然的联系，要特别注意左、右导数，同时注意与连续的关系，连续不一定可导，可导一定连续．目录例1对于函数f(x)，已知f(3)＝2，f′(3)＝－2，求limx→32x－3fxx－3的值．【思路分析】f′(3)＝limΔx→0f3＋Δx－f3Δx＝－2，设x－3＝Δx进行转化．目录【解】设Δx＝x－3.∴x→3时，即Δx→0，∴x＝Δx＋3，∴limx→32x－3fxx－3＝limΔx→023＋Δx－3f3＋ΔxΔx＝limΔx→0－3f3＋Δx＋2×3＋2ΔxΔx＝－3limΔx→0f3＋Δx－f3Δx＋2＝－3×(－2)＋2＝8.【名师点评】导数定义的另一种形式：f′(x0)＝limx→x0fx－fx0x－x0.目录考点2求函数的导数求函数的导数时要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数．目录求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)(1＋1x)；(2)y＝lnxx；(3)y＝xex；(4)y＝x2sinx；(5)y＝cos(3x－π6)．【思路分析】(1)展开后按多项式求导；(2)按商式的求导法则；(3)(4)根据积式的求导法则；(5)按复合函数求导法则．例2目录【解】(1)∵y＝(1－x)(1＋1x)＝1x－x＝x－12－x12，∴y′＝(x－12)′－(x12)′＝－12x－32－12x－12.(2)y′＝(lnxx)′＝lnx′x－x′lnxx2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.(3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)．(4)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(5)y′＝[cos(3x－π6)]′＝[－sin(3x－π6)](3x－π6)′＝－3sin(3x－π6)．目录【思维总结】和、差、积、商的导数利用公式和法则求导；复合函数的导数，要分清复合关系，选好中间变量，由外到内逐层求导．目录考点3导数的几何意义及应用函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．目录已知曲线y＝13x3＋43.求曲线过点P(2,4)的切线方程．【思路分析】过点P的切线，点P不一定是切点，需要设出切点坐标．例3目录【解】设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x30＋43)，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20，∴切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)，即y＝x20·x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.目录【名师点评】对于未给出切点的求切线方程时，先设出切点坐标，建立切线方程，再利用过已知点求切点坐标．目录跟踪训练(2011·高考湖南卷)曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为()A．－12B.12C．－22D.22目录解析：选B.y′＝cosxsinx＋cosx－cosx－sinxsinxsinx＋cosx2＝1sinx＋cosx2，故y′x＝π4＝12，∴曲线在点Mπ4，0处的切线的斜率为12.目录方法技巧1．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为基本函数的导数解决．方法感悟目录3．曲线的切线方程的求法(1)已知切点(x0，f(x0))①求出函数f(x)的导数f′(x)；②将x0代入f′(x)求出f′(x0)，即得切线的斜率；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不是切点，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，再将(x1，y1)代入切线方程，求出x0，从而确定切线方程．目录失误防范1．利用导数定义求导数时，要注意x与Δx的区别，这里的x是常量，Δx是变量．2．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．3．求曲线切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．4．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．目录考向瞭望把脉高考命题预测从近两年的高考试题来看，高考对导数及其运算的考查主要集中在导数的实际背景及导数的几何意义上．可以以选择题、填空题的形式单独出题，也有时作为解答题的某一步，都是针对常见函数的求导问题，难度属于中档偏下．在2012年的高考中，新课标全国卷、广东卷考查了切线方程的求法，重庆卷考查切线问题是以解答题的一步出现．预测2014年高考对导数的实际背景及导数的几何意义的考查仍将继续,各种题型都有可能出现,其中选择、填空题的可能性更大,求较复杂的函数导数将在综合题中以解答题的形式出现.目录典例透析例(2011·高考大纲全国卷)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．1目录【解析】∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为23，23，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴S＝12×1×23＝13.【答案】A目录【名师点评】本题属于容易题：考查了导数的求导法则及几何意义，直线的点斜式方程等基础内容．旨在考查学生对基础知识的掌握情况．