《试验设计与数据处理》讲稿_第3章

1第3章试验的方差分析试验结果S受多个因素Ai影响，其函数关系为：S＝f(A1，A2，…，An)但影响的程度各不相同，如何通过试验数据来确定因素的影响程度呢？方差—标准差的平方，表征xi与的偏离程度。方差分析—利用试验数据与均值的偏离程度来判断各因素对试验结果影响显著性程度的方法。方差分析实质上是研究自变量（因素）与因变量（试验结果）的相互关系x2基本概念—试验设计中的有关术语介绍1、指标——在试验中用来衡量试验效果的标准或特性•单指标——衡量试验效果的标准只有一个•多指标——衡量试验效果的标准多于一个•定量指标——能直接用数量来表示的指标•定性指标——不能直接用数量来表示的指标32、因素—对试验指标会产生影响的原因要素，也称因子•可控因素——可人为地加以调节和控制的因素，如：加药量、温度、液固比、反应时间等。•不可控因素——暂时不能人为调节和控制的因素，例如：气候的变化、大气压、室温等。•数量性因素——可量化的因素，如反应温度•属性因素——不可量化的因素，如催化剂种类。43、水平——因素在试验中所选取的具体状态。例如：•反应时间：取2h、4h、6h，则表示时间因素有三个水平。•水平可以用1、2、3……来代表，也可以用+1，0，-1……代表高、中、低三个水平。•单因素方差分析——只针对一个试验因素•多因素试验方差分析——同时针对多个试验因素进行的方差分析其中，双因素方差分析最常见。53.1单因素试验的方差分析1.单因素试验方差分析基本问题——讨论一种因素对试验结果有无显著影响的问题设：因素A有r种水平Al,A2，…，Ar，在每种水平下的试验结果服从正态分布。如果在各水平下分别做了ni（i=1，2，…，r）次试验：问：因素A对试验结果是否有显著影响？ijxi表示因素A对应的水平j表示在i水平上的第j次试验62.方差分析基本步骤iiijiTxnxinj=1•组内和:ix1iijixxninj=1，(i=1,2,,r)(1)计算平均值•同一水平的平均值，又称组内平均值，11111rriijiiiixxnxTnnninrj=1i=1•总平均值:式中：n为总试验数7(2)计算离差平方和各试验结果之间的差异，可用离差平方和来表示①总离差平方和：反映试验结果之间存在的总差异。21()rTijiSSxxinj=1②组间离差平方和——水平项离差平方和2211()()rriAiiiiSSxxnxxinj=1③组内离差平方和——误差项离差平方和21()reijiiSSxxinj=1关系：SST＝SSA＋SSe8(3)计算自由度①SST对应的自由度，称总自由度：dfT=n-1②SSA对应的自由度，称组间自由度：dfA=r-1③SSe对应的自由度，称组内自由度：dfe=n-r(4)计算平均平方•用离差平方和除以自由度得平均平方，简称均方•组间均方：/AAAMSSSdf•组内均方(又称为误差均方)：/eeeMSSSdf9(5)F检验•组间均方和组内均方之比F是一个统计量:FA=组间均方/组内均方=MSA/MSe它服从自由度为(dfA，dfe)的F分布，记为Fα(dfA,dfe）如果FAFα(dfA,dfe），则认为因素A对试验结果有显著影响，否则认为因素A对试验结果没有显著影响。•显著性程度实质上是指该因素确实是有影响的这个结论的可靠性程度，即有多少把握说这个因素确有影响。•设没有把握部分为α，则可靠性为1-α,α称为风险，又称为显著性水平。α通常取0.01或0.05•Fα(dfA,dfe）可从教材附录中查取（P.203～207）10(6)列出方差分析表1.若FAF0.01(dfA，dfe)，就称因素A对试验结果有非常显著的影响，用两个“*”号表示；2.若F0.05(dfA，dfe)FAF0.01(dfA，dfe)，则因素A对试验结果有显著的影响，用一个“*”号表示；3.若FAF0.05(dfA,dfe)，则因素A对试验结果的影响不显著，不用“*”号。113.2双因素试验的方差分析——讨论两个因素对试验结果有无显著性影响的问题3.2.1双因素无重复试验的方差分析•设在某试验中，有两个因素A和B在变化：A有r种水平A1，A2，…，ArB有s种水平B1，B2，…，Bs•在每一种组合水平（Ai，Bj）上做1次试验;•试验结果为xij（i=1，2，…，r；j=1，2，…，s）;•所有xij相互独立，且服从正态分布。ijxi表示因素A对应的水平j表示因素B对应的水平12双因素无重复试验的方差分析的基本步骤：（l）计算平均值•Ai水平时所有试验值的算术平均值:11siijjxxs•Bj水平时所有试验值的算术平均值:11rjijjxxr•所有试验值的总平均值:1111111rsrsijijijijxxxxrsrs13（2）计算离差平方和•总离差平方和：211()rsTijABeijSSxxSSSSSS式中：•SSA为因素A引起的离差平方和:22111()()srriiAjiiSSxxsxx•SSB为因素B引起的离差平方和:22111()()rssjjBijjSSxxrxx•SSe为误差平方和:211()rsijeijijSSxxxx14（3）计算自由度•总离差平方和SST的自由度为：dfT=dfA＋dfB＋dfe=n-1=rs-1•因素A离差平方和SSA的自由度为:dfA=r-1•因素B离差平方和SSB的自由度为:dfB=s-1•误差平方和SSe的自由度为:dfe=(r-1)(s-1)（4）计算均方——离差平方和/自由度1AASSMSr因素A的均方1BBSSMSs因素B的均方(1)(1)eeSSMSrs误差的均方15(5)F检验•FAFα(dfA,dfe)，认为因素A对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。服从自由度为(dfA,dfe)的F分布AAeMSFMS服从自由度为(dfB,dfe)的F分布BBeMSFMS•FBFα(dfB,dfe)，认为因素B对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。16(6)列出方差分析表•若FAF0.01(dfA，dfe)，则因素A的影响非常显著，“**”•若F0.05(dfA，dfe)FAF0.01(dfA，dfe)，则因素A对试验结果有显著的影响，用一个“*”号表示•若FAF0.05(dfA,dfe)，则因素A的影响不显著173.2.2双因素重复试验的方差分析——讨论两个因素有交互作用时对结果显著影响的问题•交互作用——因素间的联合作用称为交互作用•例：考察氮、磷两种肥料对水稻的增产效果氮肥施加量/(kg/亩)磷肥施加量/(kg/亩)增产/(kg/亩)02002803507050340470130增产/(kg/亩)60120190•因素间没有联合作用——相互独立、独立效应•因素间有联合作用——交互作用、交互效应：交互效应＞独立效应称加强作用、促进作用交互效应＜独立效应称减弱作用、衰减作用18双因素重复试验的基本问题ijkxi表示因素A对应的水平j表示因素B对应的水平组合水平(Ai,Bj)上的第k次试验19双因素等重复试验的方差分析的基本步骤：（l）计算平均值•组合水平（Ai，Bj）上的c次试验值的算术平均值:11,1,2,,;1,2,cijijkkxxirjsc•Ai水平时所有试验值的算术平均值:1111,1,2,,ssiijijkjjxxxirscs•Bj水平时所有试验值的算术平均值:1111,1,2,,rrjijijkiixxxjsrcr•所有试验值的总平均值:1111rscijkijkxxrsc20（2）计算离差平方和•总离差平方和：21111()rscTijkABABeijkSSxxSSSSSSSSrsc•SSA为A引起的离差平方和:21()riAiSSscxx•SSB为B引起的离差平方和:21()sjBjSSrcxx•SSe为误差平方和:2111()rscijeijkijkSSxx•SSA×B为A×B引起的离差平方和:211()rsijijABijSScxxxx21（3）计算自由度•SSA的自由度为:dfA=r-1；SSB的自由度为:dfB=s-1•SST的自由度为：dfT=dfA＋dfB＋dfA×B＋dfe=n-1=rsc-1•SSe的自由度为:dfe=rs(c-1)•SSA×B的自由度为：dfA×B=(r-1)(s-1)（4）计算均方——离差平方和/自由度1AASSMSr因素A的均方(1)eeSSMSrsc误差的均方：(1)(1)ABABSSMSrsA×B的均方1BBSSMSs因素B的均方22(5)F检验•FAFα(dfA,dfe)，认为因素A对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。服从自由度为(dfA,dfe)的F分布AAeMSFMS服从自由度为(dfB,dfe)的F分布BBeMSFMS•FBFα(dfB,dfe)，认为因素B对试验结果有显著影响,否则认为没有显著影响。服从自由度为(dfA×B,dfe)的F分布ABABeMSFMS•FA×BFα(dfA×B,dfe)，认为交互作用A×B对试验结果有显著影响,否则认为没显著影响。23(6)列出方差分析表•本章的计算量很大，但主要要求掌握方差分析的基本概念和方法，具体计算可利用Excel中“工具分析库”进行，希望同学们在上机实习时认真训练。24F分布•F分布的分布密度为：1121221211112222[()/2]1(),0(/2)(/2)00nnnnnnnnyyfxynnnnny，，