函数的连续性与间断点共5页

第1页1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2u1就叫做变量u的增量,记作u,即uu2u1.设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的.当自变量x在这邻域内从x0变到x0x时,函数y相应地从f(x0)变到f(x0x),因此函数y的对应增量为yf(x0x)f(x0).函数连续的定义设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果当自变量的增量xxx0趋于零时,对应的函数的增量yf(x0x)f(x0)也趋于零,即0lim0yx或)()(lim00xfxfxx,那么就称函数yf(x)在点x0处连续.注①0)]()([limlim0000xfxxfyxx②设xx0+x,则当x0时,xx0,因此0lim0yx0)]()([lim00xfxfxx)()(lim00xfxfxx.函数连续的等价定义2:设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果对于任意给定义第2页的正数,总存在着正数,使得对于适合不等式|xx0|的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|,那么就称函数yf(x)在点x0处连续.左右连续性:如果)()(lim00xfxfxx,则称yf(x)在点0x处左连续.如果)()(lim00xfxfxx,则称yf(x)在点0x处右连续.左右连续与连续的关系:函数yf(x)在点x0处连续Û函数yf(x)在点x0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1.如果f(x)是多项式函数,则函数f(x)在区间(¥,¥)内是连续的.这是因为,f(x)在(¥,¥)内任意一点x0处有定义,且)()(lim00xPxPxx2.函数xxf)(在区间[0,¥)内是连续的.3.函数ysinx在区间(¥,¥)内是连续的.第3页证明设x为区间(¥,¥)内任意一点.则有ysin(xx)sinx)2cos(2sin2xxx,因为当x0时,y是无穷小与有界函数的乘积,所以0lim0yx.这就证明了函数ysinx在区间内任意一点x都是连续的．4.函数ycosx在区间(¥,¥)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:(1)在x0没有定义;(2)虽然在x0有定义,但0limxxf(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且0limxxf(x)存在,但0limxxf(x)¹f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1.正切函数ytanx在2x处没有定义,所以点2x是函数tanx的间断点.因为xxtanlim2,故称2x为函数tanx的无穷间断点.例2.函数xy1sin在点x0没有定义,所以点x0是函数x1sin第4页的间断点.当x®0时,函数值在1与1之间变动无限多次,所以点x0称为函数x1sin的振荡间断点.例3.函数112xxy在x1没有定义,所以点x1是函数的间断点.因为11lim21xxx2)1(lim1xx,如果补充定义:令x1时y2,则所给函数在x1成为连续.所以x1称为该函数的可去间断点.例4.设函数1211)(xxxxfy.因为1lim)(lim11xxfxx,21)1(f,)1()(lim1fxfx,所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x1处的定义:令f(1)1,则函数f(x)在x1成为连续,所以x1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数010001)(xxxxxxf.因为1)1(lim)(lim00xxfxx,1)1(lim)(lim00xxfxx)(lim)(lim00xfxfxx,所以极限)(lim0xfx不存在,x=0是函数f(x)的间断点.因函数f(x)的图形在x0处产生跳跃现象,我们称x0为函数f(x)的跳第5页跃间断点.间断点的分类:通常把间断点分成两类:如果x0是函数f(x)的间断点,但左极限f(x00)及右极限f(x00)都存在,那么x0称为函数f(x)的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.在第一类间断点中,左、右极限相等者称为可去间断点,不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第二间断点.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。原谅别人，就是善待自己。2、未必钱多乐便多，财多累己招烦恼。清贫乐道真自在，无牵无挂乐逍遥。3、处事不必求功，无过便是功。为人不必感德，无怨便是德。