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泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理,即Hahn-Banach定理,共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。其中:一致有界定理,该定理描述一族有界算子的性质;谱定理包括一系列结果,其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达,该结果在量子力学数学描述中起核心作用;罕-巴拿赫定理(Hahn-BanachTheorem)研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的;开映射定理和闭图像定理。1、Hahn-Banach延拓定理定理:设G为线性赋范空间X的线性子空间,f是G上的任一线性有界泛函,则存在X上的线性有界泛函F,满足:(1)当xG时,()()Fxfx;(2)XGFf;其中XF表示F作为X上的线性泛函时的范数;Gf表示G上的线性泛函的范数.延拓定理被应用于Riesz定理、Liouville定理的证明及二次共轭空间等的研究中.2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念,并且知道“单调函数必存在反函数”,将此概念和结论推广到更一般的空间.定义1逆算子(广义上):设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间,GX,算子T:GY,T的定义域为()DTG;值域为()RT.用1T表示从()()RTDT的逆映射(蕴含T是单射),则称1T为T的逆算子(invertiableoperator).定义2正则算子:设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间,若算子T:()GXY满足(1)T是可逆算子;(2)T是满射,即()RTY;(3)1T是线性有界算子,则称T为正则算子(normaloperator).注:①若T是线性算子,1T是线性算子吗?②若T是线性有界算子,1T是线性有界算子吗?性质1若T:()GXY是线性算子,则1T是线性算子.证明:12,yyY,,K,由T线性性知:1111212(())TTyyTyTy1111212()TTyyTTyTTy1212()yyyy0由于T可逆,即T不是零算子,于是1111212()TyyTyTy,故1T是线性算子.□定理2逆算子定理:设T是Banach空间X到Banach空间Y上的双射(既单又满)、线性有界算子,则1T是线性有界算子.例1设线性赋范空间X上有两个范数1和2,如果1(,)X和2(,)X均是Banach空间,而且2比1强,那么范数1和2等价.(等价范数定理)证明:设I是从由2(,)X到1(,)X上的恒等映射,由于范数2比1强,所以存在0M,使得xX有112IxxMx于是I是线性有界算子,加之I既是单射又满射,因此根据逆算子定理知1I是线性有界算子,即存在0M',使得xX有1212IxxM'x.故范数1和2等价。3、一致有界原理定义1一致有界:设X和Y是同一数域K上的线性赋范空间,()FBXY,如果{}TTF是有界集,则称算子族F为一致有界.定理1共鸣定理:设X是Banach空间,Y是线性赋范空间,算子族()FBXY,那么:{}TTF是有界集(F一致有界)xX,{}TxTF为有界集.证明:(1)必要性因为{}TTF是有界集,所以存在0M,TF,有TM,于是xX,不妨设xa,那么TxTxMxMa因此{}TxTF为有界集.(2)充分性xX,定义supFTFxxTx,显然F是X上的范数且比强,下面证明(,)FX完备.如果sup()0mnmnmnFTFxxxxTxx(,)mn,由X是Banach空间知存在xX,使得0nxx()n.又因为0,NN,使得只要,mnN,便有supmnTFTxTx.从而TF有nnmmTxTxTxTxTxTxnmmTxTxTxx0()n.因此得sup()0nnTFxxTxx()n,即0nFxx,可见(,)FX完备.根据等价范数定理知范数F和等价,从而存在0M,使得xX有supsupFTFTFTxxTxxMx于是可得TF有TM.□注:共鸣定理也称为一致有界定理(或原理),由共鸣定理知,当F不一致有界时,即sup{}TTF,则存在0xX,使得0sup{}TxTF,称0x为算子族F的共鸣点。例2设无穷矩阵111212122212jjiiijaaaaaaAaaa满足21ijia,1,2,3,j,并对任何212(,,,,)ixxxxl有TxxA11121212221212(,,,,)jjiiiijaaaaaaxxxaaa12(,,,,)iyyy2yl其中1jiijiyxa,1,2,j,证明算子T是线性连续算子.例3(Fourier级数的发散问题)存在一个周期为2的实值连续函数,它的Fourier级数在0t点发散.证明:记周期是2的实值连续函数全体为2C,对于2fC,f导出的Fourier级数为:011(cossin)2nnnaantbnt,其中1()cosdnaftntt(0,1,2,n);1()sindnbftntt(1,2,3,n).当0t时,级数为0112nnaa,前1n项部分和为01111()()[12cos]d22nnnnnnSfaaftntt记1()12cosnnnKtnt,计算可得1sin()2()1sin2nntKtt,于是1()()()d2nnSfftKtt.下面证明存在2fC,使得{()}nSf发散.显然2:nSCR是线性泛函.又因为[,]1()max{()}()d2nntSfftKttnMf其中1()d2nnMKtt,所以nS是2C上的线性连续泛函.可证明nS的范数为1()d2nnnSMKtt。由于2C是Banach空间,为了证明存在2fC,使得{()}nSf无界,根据共鸣定理,只需证{}nS无界.因为1sin()12d12sin2nntStt202sin(21)dsinnsss(2ts)(1)22(21)02(21)sin(21)2dknnkknnsss(1)2202sin2dknkkuuu((21)uns)(1)220222sind(1)knkkuuk(1)2220241sind1knkkuuk2220041sind1nkuuk220411nkk所以{}nS无界。
本文标题:泛函中三大定理的认识
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