【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式(组)

人人都可以是优等生二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程、不等式组课程目标：灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。课程要求：完成讲义中的练习；完成课后配套练习。一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个数为（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．1个或2个例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值为.例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=_________．例4.如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是.例5.已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点．（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程221xbx=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．22ymxxmmx人人都可以是优等生【当堂练】1.已知二次函数cbxaxy2的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是()A．a＞0B．c＜0C．b2－4ac＜0D．a＋b＋c＞02.如图所示，函数的图像与轴只有一个交点，则交点的横坐标．3.二次函数的图像与轴的交点坐标为．4.y=ax2+bx+c中，a0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax2+bx+c0的解是____________;ax2+bx+c0的解是____________5.抛物线与轴有个交点，因为其判别式0，相应二次方程的根的情况为．6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时．7.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（）A．向上平移4个单位B．向下平移4个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位8.若关于x的一元二次方程0522axx的两根在1与2之间（不含12(2)7(5)ykxxkx0x269yxxx2283yxxx24bac23280xxx25mxmxm25ymxmxmxmＯ人人都可以是优等生和2），则a的取值范围是．9.右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．10.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是，求和的值．11.已知函数．（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；（2）若函数有最小值，求函数表达式．12.关于x的一元二次方程22(1)2(2)10mxmx.（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）点11A，是抛物线22(1)2(2)1ymxmx上的点，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.21()3yxhk2yxx43hk22yxmxmmxy54人人都可以是优等生二、二次函数与一次函数、反比例函数例1．当路程s一定时，速度v与时间t之间的函数关系是（）A．正比例函数B．反比例函数C．一次函数D．二次函数例2.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（）例2.函数2ykx与kyx（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）例3.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．人人都可以是优等生例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－433，0）的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．（1）求折痕所在直线EF的解析式；（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．例5．如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）【当堂练】1.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）人人都可以是优等生．B．C．D．.2.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．43.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）[来源:z&zstep*~@.^com]A．B．C．D．4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．5．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x的值为52，则输出的函数值为.人人都可以是优等生定义pq，为一次函数ypxq的特征数．（1）若特征数是22k，的一次函数为正比例函数，求k的值；（2）设点AB，分别为抛物线()(2)yxmx与x轴、y轴的交点，其中0m，且OAB△的面积为4，O为坐标原点，求图象过A、B两点的一次函数的特征数．7.已知：二次函数的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b），其中且、为实数．（1）求一次函数的表达式（用含b的式子表示）；（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求|x1－x2|的范围．8.如图，直线3xy与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线cbxxy2经过点B和点C，点A是抛物线与x轴的另一个交点.22yaxbx0abab人人都可以是优等生（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；（3）在直线BC上是否存在一点P，且31：＝：PABPACSS，若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由.9.如图，在平面直角坐标系中，直线33xy与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线cbxxy2经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).（1）求抛物线的解析式及点B坐标；（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E.求ME长的最大值；（3）试探究当ME取最大值时，在抛物线x轴下方是否存在点P，使以M、F、B、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.