人教版数学必修四三角函数复习讲义

人教版数学必修四三角函数复习讲义1/22第一讲任意角与三角函数诱导公式1.知识要点角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。终边相同的角的表示：终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2()kkZ。注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.终边在x轴上的角可表示为：,kkZ；终边在y轴上的角可表示为：,2kkZ；终边在坐标轴上的角可表示为：,2kkZ.角度与弧度的互换关系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.与2的终边关系：任意角的三角函数的定义:设是任意一个角，P(,)xy是的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220rxy，那么sin,cosyxrr，tan,0yxx，cotxy(0)y，secrx0x，csc0ryy。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。三角函数线的特征：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点(1,0)A处(起点是A)”同角三角函数的基本关系式：1.平方关系：222222sincos1,1tansec,1cotcsc人教版数学必修四三角函数复习讲义2/222.倒数关系：sincsc=1,cossec=1,tancot=1,3.商数关系：sincostan,cotcossin注意：1.角的任意性。2.同角才可使用。3.熟悉公式的变形形式。三角函数诱导公式：“（2k）”记忆口诀:“奇变偶不变，符号看象限”典型例题例1．求下列三角函数值：（1）cos210º；(2)sin45例2．求下列各式的值：（1）sin(－34)；(2)cos(－60º)－sin(－210º)例3．化简)180sin()180cos()1080cos()1440sin(例4．已知cos(π+)=－21，232π，则sin(2π－)的值是（）．(A)23(B)21(C)－23(D)±23例5、求证：)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(kkk人教版数学必修四三角函数复习讲义3/22例6的值。求)4(cos)4(cos22例7)(sin,17cos)(cosxfxxf求若课后练习1.在直角坐标系中，若角与终边互为反向延长线，与之间的关系是（）A．B．2kkZC．D．21kkZ2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（）A．等于1弧度B．大于1弧度C．小于1弧度D．无法判断3.角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sinα的值是()A．22B．-22C．±22D．14.α是第二象限角，其终边上一点P（x，5），且cosα＝42x，则sinα的值为（）A．410B．46C．42D．－410人教版数学必修四三角函数复习讲义4/225.设角α是第二象限角，且|cos2|＝－cos2，则角2是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角6.已知45cossin，则cossin等于（）A．47B．－169C．－329D．3297.函数xxxxysincos1cossin122的值域是（）A．｛0，2｝B．｛－2，0｝C．｛－2，0，2｝D．｛－2，2｝8.化简4cos4sin21的结果是（）A、4cos4sinB、4cos4sinC、4sin4cosD、4cos4sin9.若2cossin，则cottan等于（）A、1B、2C、-1D、-210.若A、B、C为△ABC的三个内角，则下列等式成立的是（）A、ACBsin)sin(B、ACBcos)cos(C、ACBtan)tan(D、ACBcot)cot(11.若101)sin(，则)270cos()540csc()90sin()sec(的值是（）A、31B、271C、31D、3312.若sin、cos是关于x的方程0242mmxx的两个实根，则m值为（）A、0,34mB、51mC、51mD、51m13..定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，2π］时，f（x）=sinx，则f（3π5）的值为()A.－21B.21C.－23D.2314.函数lg(2cos3)yx的单调递增区间为()．A．(2,22)()kkkZB．11(2,2)()6kkkZC．(2,2)()6kkkZD．(2,2)()6kkkZ人教版数学必修四三角函数复习讲义5/2215.下列说法只不正确的是()A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[-1，1]；B．余弦函数当且仅当x=2kπ(k∈Z)时，取得最大值1；C．余弦函数在[2kπ+2,2kπ+32](k∈Z)上都是减函数；D．余弦函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上都是减函数16.若a=sin460,b=cos460,c=tan360，则a、b、c的大小关系是()A．cabB.abcC.acbD.bca18.若是第四象限角，则是（）A．第一象限B.第二象限C.第三象限期D.第四象限19.若0cos3sin，则sin3cos2sin2cos的值为.20.sin49tan37=_________21.若是第二象限的角，则2是第象限的角。22.若角的终边与85角的终边相同，则在0,2上终边与4的角终边相同的角为；23.终边在x轴上的角的集合为，终边在y轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为。24.已知xxxf11)(，若，2，求)cos()(cosff的值。25.已知21)sin(，求cos)cot()2sin(的值.人教版数学必修四三角函数复习讲义6/2226.已知：21cossin，求33cossin和44cossin的值。27.若cosα＝23，α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)的值第二讲三角函数的图像与性质人教版数学必修四三角函数复习讲义7/221．函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。2．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。3．由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：4．五点法作y=Asin（ωx+）的简图：典例解析例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（）函数sinyxcosyxtanyx图象定义域RR{|,}2xxkkZ值域[1,1][1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期22T；＝22T；＝T；＝对称轴,2xkkZ,xkkZ无对称中心(,0),kkZ(,0),2kkZ(,0),2kkZ单调递增区间[2,2],22kkkZ[2,2],kkkZ(,),22kkkZ单调递减区间3[2,2],22kkkZ[2,2],kkkZ无人教版数学必修四三角函数复习讲义8/22例2．试述如何由y=31sin（2x+3π）的图象得到y=sinx的图象。例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移2个单位，再沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（）A．（1－y）sinx+2y－3=0B．（y－1）sinx+2y－3=0C．（y+1）sinx+2y+1=0D．－(y+1)sinx+2y+1=0例4．（2003上海春，18）已知函数f（x）=Asin（ωx+）（A0，ω0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；人教版数学必修四三角函数复习讲义9/22（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；例6．求下列函数的单调区间：（1）y=21sin（4π－32x）；（2）y=－｜sin（x+4π）｜。人教版数学必修四三角函数复习讲义10/22例7．关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；③存在，使f（x）是奇函数；④对任意的，f（x）都不是偶函数。其中一个假命题的序号是.例8．设)0(cossin)(xbxaxf的周期T，最大值4)12(f，（1）求、a、b的值；（2）的值终边不共线，求、的两根，为方程、若)tan(0)(xf。例9．函数y＝xxcossin21的最大值是（）A．22－1B．22＋1C．1－22D．－1－22课后练习1、3sin(2)4yx的最小正周期是、对称轴是、单调递增区间是、单调递减区间人教版数学必修四三角函数复习讲义11/22是；振幅是、相位是、初相是。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由sinyx变化而来。2、求3sin(2),[,]422yxx的单调递减区间。3、比较大小6cos(),sin,sin876；tan1,tan2,tan34、求3sin(2),[,]366yxx的最大值、最小值及对应的x的取值范围。5、求3sin(2),[,],0366yaxxa的最值及对应的x的取值。6、若2sin(2),[0,]32yaxbx的最大值是1，最小值是5，求ab，的值。人教版数学必修四三角函数复习讲义12/227、为了得到3sin(2)6yx的图象，只须将3sin(2)3yx的图象向平移个单位。8、定义在R的函数()fx，对任意xR都有(2)[1()]()1fxfxfx。（1）证明()fx是周期函数。（2）若(1)2f，求(2013)f。9、若sin()(0,0,)2yAxBA，在其一个周期内的图象上有一个最高点(,3)12和一个最低点7(,5)12，求这个函数的解析式。10、求215()2cos2sin,[,]266fxxaxbx的值域第三讲三角函数两角和公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB人教版数学必修四三角函数复习讲义13/22cos(A+B)=cosAcosB-sinAs