第三章第九讲：燕尾定理.例题精讲

燕尾定理4-2-4燕尾定理题库page1of5燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么::ABOACOSSBDDC．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D是BC上任意一点，请你说明：1423:::SSSSBDDC【解析】三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，所以有14::SSBDDC；三角形ABE与三角形EBD同高，12::SSEDEA；三角形ACE与三角形CED同高，43::SSEDEA，所以1423::SSSS；综上可得1423:::SSSSBDDC.【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且:1:2BDDC，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于．【例2】如图所示，在四边形ABCD中，3ABBE，3ADAF，四边形AEOF的面积是12，那么平行四边形BODC的面积为________．OFEDCBAS3S1S4S2EDCBAFEDCBAOFEDCBA燕尾定理4-2-4燕尾定理题库page2of5【例3】ABCD是边长为12厘米的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形AGCD的面积是_________平方厘米．【例4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_____平方厘米．【例5】如图所示，在ABC△中，:3:1BEEC，D是AE的中点，那么:AFFC．【例6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且13AEAB，14CFBC，AF与CE相交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AEG与CGF的面积之和为．【例7】如右图，三角形ABC中，:4:9BDDC，:4:3CEEA，求:AFFB．GFEDCBAHGFEDCBAFEDCBAABCDEFG燕尾定理4-2-4燕尾定理题库page3of5【例8】(2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，:::3:2AFFBBDDCCEAE，且三角形ABC的面积是1，则三角形ABE的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形GHI的面积为______．【例9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【例10】如图，三角形ABC被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC的面积是多少?【例11】三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影部分的面积．【例12】如右图，ABC△中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知ABM△的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，则ABC△的面积是多少平方厘米？OFEDCBAIHGFEDCBA77335304084OFEDCBAFEDCBA燕尾定理4-2-4燕尾定理题库page4of5【例13】如图，三角形ABC的面积是1，BDDEEC，CFFGGA，三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【例14】如右图，面积为1的ABC△中，::1:2:1BDDEEC，::1:2:1CFFGGA，::1:2:1AHHIIB，求阴影部分面积．【例15】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求阴影部分面积.【例16】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点,求中心六边形面积.NMGABCDEFGFEDCBAIHGFEDCBAIGHFEDCBAIGHFEDCBA燕尾定理4-2-4燕尾定理题库page5of5【例17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A，2A，3A，4A，5A，6A的面积是2009平方厘米，1B，2B，3B，4B，5B，6B分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【例18】已知四边形ABCD，CHFG为正方形，:1:8SS乙甲，a与b是两个正方形的边长，求:?abA6B4B5B3B2B6B1A5A4A3A2A1乙甲baGHOFEDCBA