第二章圆锥曲线与方程(2)

第四讲直线与圆锥曲线的位置关系[知识梳理]［知识盘点］一．直线与圆锥曲线的位置关系1．代数法：判断直线l与圆锥曲线r的位置关系时，通常将直线l的方程0(,AxByCAB不同时为0)代入圆锥曲线r的方程(,)0Fxy，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程，即0(,)0AxByCFxy消去y后得0axbyc，(1)当0a时，则有0，直线l与曲线r；0，直线l与曲线r；0，直线l与曲线r。(2)当0a时，即得到一个一次方程，则l与r相交，且只有一个交点，此时，若r为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是；若r是抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是。2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线；(2)直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线，对于抛物线而言，表示直线与其或与其对称轴平行；(3)直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。二．中点弦问题已知弦AB的中点，研究AB的斜率与方程.3．AB是椭圆22221(0)xyabab的一条弦，中点M坐标为00(,)xy，则直线的斜率为。运用点差法求AB的斜率：设1122(,),(,),,AxyBxyAB都在椭圆上，则22112222222211xyabxyab，两式相减，得12222212220xxyyab，1212121222()()()()0xxxxyyyyab，从而2121221212()()yybxxxxayy，故ABk。运用类比思想，可以推出已知AB是双曲线22221xyab的弦，中点M00(,)xy，则ABk；已知抛物线22(0)ypxp的弦AB的中点M00(,)xy，则ABk.三．弦长问题.4．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点111(,)Pxy，222(,)Pxy，则所得的弦长或，其中求21||xx与21||yy时，常使用韦达定理，即做如下变形：2211212||()4xxxxxx，2211212||()4yyyyyy.(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为，往往比利用弦长公式简单。［特别提醒］直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆锥曲线的性质与直线的基本知识中的点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时要借助于数形结合思想、设而不求法及弦长公式及韦达定理综合考虑，这样就加强了对数学各种能力的考查。因此要注意对数学思想、数学方法的归纳与提炼，达到优化解题的目的。1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，常会出现漏解的情况，用代数法求解时，易忽视消元后一元二次方程的二项式系数是否为零的讨论；在利用几何法解题时，易忽视特殊情况的讨论，如与双曲线的渐近线平行，与抛物线的对称轴平行等特殊情况；这些情况要特别加以注意；2．解决直线与圆锥曲线相交问题时，不要忽视0这一条件；3．在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形辅数的方法；4．与焦点弦有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，涉及到中点的问题，除利用韦达定理以外，用“点差法”也较为简单。[基础闯关]1．过点(2,4)P作直线与抛物线28yx只有一个公共点，这样的直线有()(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条2．与直线240xy平行的抛物线2yx的切线方程为()(A)230xy(B)230xy(C)210xy(D)210xy3．抛物线24yx过焦点的弦的中点的轨迹方程是()(A)22(1)yx(B)21yx(C)212yx(D)221yx4．(2005年济南模拟试题)直线143xy与椭圆221169xy相交于,AB两点，椭圆上的点C使ABC的面积等于12，这样的点C共有()(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个5．过抛物线24yx的焦点F作垂直与x轴的直线，交抛物线于,AB两点，则以F为圆心，AB为直径的圆的方程是.6．已知直线l与抛物线28yx交于,AB两点，且l过抛物线的焦点F，点A的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到抛物线准线的距离是.[典例精析]例1．已知直线(1)1yax与曲线2yax恰有一个公共点，求实数a的值。［剖析］首先考虑曲线2yax是否是抛物线，当0a时，是直线0y，因此要对a进行讨论，然后就0a时，联立直线与抛物线组成的方程组进行求解。［解］联立方程2(1)1yaxyax(1)当0a时，此方程组恰有组解10xy；(2)当0a时，消去x，得2110ayya；①当10aa，即1a时，方程变为一元一次方程10y，方程恰有一组解11xy；②若10aa，即1a时，令0，得4(1)10aa，解得45a，此时直线与曲线相切，有且只有一个公共点.综上所述，当0a，1a或45a时，直线与曲线2yax恰有一个公共点。［警示］本题设计了两个思维陷阱，第一个就是同学们在审请的过程中往往视0a的情况，误认为2yax对应的曲线就是抛物线；第二个是在解答的过程中不讨论二次项系数10aa即1a的可能，从而漏掉两个解.另外，在研究直线与圆锥曲线的位置关系时，应特别注意0并不是直线与曲线有且只有一个公共点的充要条件.事实上，求曲线与曲线的点的个数，就是它们的方程组成的方程组解的个数。在具体解方程时，需要比较消去x与消去y哪个简单，从而选择恰当的消参方式，还要注意0只是是直线与曲线有且只有一个公共点的充分不必要条件.［变式训练］：1．对于抛物线2:4Cyx，称满足2004yx的点有抛物线的内部.若点00(,)Mxy在抛物线C的内部，试求直线00:2()lyyxx与抛物线C的公共点的个数.例2．过点(1,1)P作直线与椭圆22142xy交于,AB两点，若线段AB的中点为P，求直线AB所在的直线方程和线段AB的长度.［剖析］由点差法可容易求解出直线方程，知道直线方程，借助弦长公式可求出线段AB的长度。本题采用了设而不求的方法，即设点，代入，作差，借助于直线的斜率解题方法，这种方法称为“点差法”，是解析几何解决直线与圆锥曲线问题的常用的技巧之一，应在理解的基础上进行训练.［解］设1122(,),(,)AxyBxy，由221122222424xyxy得12121212()()2()()0xxxxyyyy，显然12xx不合题意，12xx，1212()2()0ABxxyyk，12ABk，从而直线AB的方程为11(1)2yx，即230xy.由22230142xyxy，得23610xx，121212,3xxxx21212430||1||1433ABkxx.［警示］本题还可以设出直线的方程1(1)ykx代入椭圆方程，运用韦达定理，求出直线的斜率.直线与椭圆相交，出现中点弦问题的常规处理方法有三种：(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合韦达定理及中点坐标公式进行求解；(2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；(3)中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项.［变式训练］1．椭圆22221axby与直线10xy相交于,AB两点，C是,AB的中点.若||22AB，直线OC的斜率为22，求椭圆的方程。例3．过点(2,0)的直线l与抛物线2yx相交于,AB两点，求AB中点的轨迹方程。［剖析］求中点的轨迹方程，可以借助于点差法与韦达定理来解决。［解］易知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为(2)ykx，再设1122(,),(,)AxyBxy，AB的中点坐标为(,)xy，则122xxx，则211222yxyx两式作差，得121212()()yyxxxx，那么12122yyxxx，由于121222AByyykxxxx，得2(2)yxx，即224yxx.又由于22(2)20ykxxkxkyx，由2()4(2)0kk，得0k或8k，由于121222AByyykxxxx，可得0x或4从而所得轨迹方程为224yxx(0x或4).［警示］整体运算，本题可以作为一典型题目，它通过整体推理、整体代换等有效地绕过许多中间环节使运算直指结论。它既可优化解题过程又可以给我们带来一种赏心悦目的解题享受.本题借助于整体运算产生中点的轨迹方程，其过程简练、运算简单.在欣赏整体运算的同时，需要注意解析的后部分，借助方程组产生k的范围，这是多同学容易漏掉的地方，少了它，结论的完备性就不存在了。［变式训练］3.对于每个正整数n，(,)nnnAxy是抛物线24xy上的点，过焦点F的直线nFA交抛物线于另一点(,)nnnBst(1)求证：4(1)nnxsn；(2)取2nnx，并记nC为抛物线上分别以nA与nB为切点的两条切线的交点.试证：112||||||221nnnFCFCFC.例4．已知椭圆22:143xyE，试确定m的取值范围，便得椭圆E上存在不同的两点关于直线:4lyxm对称。［剖析］直接设出这两个不同点的坐标，由点的坐标适合椭圆方程、经过这两点的直线斜率的表示、这两点的中点在椭圆内几个已知条件，列出关系式，联立求解m范围；也可以把这两个不同的点所确定直线的方程设出来与椭圆方程联立，运用一元二次方程判断式及韦达定理分析求解。［解］解法一：设1122(,),(,)AxyBxy是椭圆E上关于直线:4lyxm的两个对称点，则2211222212121212221212143143144223()4()1222xyxyyyxxyyxxmxxyy由①②③得12121()0434xxyy，12123()yyxx联立④⑥得1212232xxmyym代入⑤，得223()4(3)12mm2132131313m.解法二：把对称点视为直线l垂直平分弦之两端.设1122(,),(,)AxyBxy是椭圆E上关于l对称的两点，则AB所在的直线方程为14yxb与椭圆方程223412xy联立，消去x得2213243(41)0ybyb.此方程有二个实根，22(24)1213(41)0bb，解之得：131322b(*)由韦达定理，得122413byy，弦AB中点纵坐标是1312b.又弦AB中点是直线4yxm与14yxb的公共点，解方程组414yxmyxb，得弦AB中点为4()16(,)1717bmbm，16121713bmb，即134bm，代入(*)式，得131313242m，即2132131313m.⑥①②③④⑤［警示］本题把点和直线放在椭圆中考查，又运用了椭圆的有关几何性质，常见有两种思考方法：一是由条件联立方程组整体分析和代换求解；二是应用一元二次方程的判别式及韦达定理，进行分析求解.对于圆锥曲线上存在两点关于某一条直线对称，求有关参数的问题，可以用参数表示弦的中点的坐标，利用中点在曲线的内部和在直线上等条件，建立不等式或不等式组来求出参数的范围；或者利用对称条件求出过这两点的直线方程，利用判断式大于零，建立不等式进行求解。［变式训练］4.直线l经过点（1