[哈工大材料力学 课件]7[1].扭转应力

1.横截面应力的计算公式：AFN=σ分布规律——内力沿横截面、斜截面均匀分布FσNF轴向拉压杆横截面、斜截面上的应力ασαααααcoscoscos====AFAFAFpNFαpFNα2.斜截面应力的计算公式：名义切应力计算公式：AFs=τ切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，在工程上假设切应力在剪切面（m-m截面）上是均匀分布的剪切面上的内力——剪力用截面法——sFFFmmFFSFmmFFSFmm剪切第3章应力计算及强度条件哈尔滨工业大学本科生课§3.3扭转1.横截面应力的计算公式：AFN=σFσNFασαααααcoscoscos====AFAFAFpNFαpFNα2.斜截面应力的计算公式：ασασαα2coscos==pασαταα2sin2sin==pασαταpαF在正应力作用下，单元体棱边的长度发生改变。产生——线应变（正应变）在切应力作用下，棱边的夹角发生改变。——切应变（角应变）§3.3扭转1、实验：一、薄壁圆筒横截面上的应力3.3.1薄壁圆筒轴的扭转0101rt≤,r0：为平均半径）(壁厚§3.3扭转2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。结论：,0=ε∵00≠∴≠τγ∵0=∴σ横截面上ττ'τγ可认为切应力沿壁厚均匀分布,且方向垂直于其半径方向。,Dt根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；∵Dtττ§3.3扭转根据精确的理论分析,当t≤r0/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。0dArATτ⋅=∫002rrtTτπ⋅⋅=3.横截面上切应力的计算公式dAτ0rαdα2000rtrdTπτα⋅⋅⋅=∫0dAtrdα=⋅20022TTrtAtτπ==§3.3扭转二、关于切应力的若干重要性质1、剪切虎克定律为扭转角ϕrlϕγ=rlγϕϕγ=∝即做薄壁圆筒的扭转试验可得T——22Trtτπ=ϕrlϕγ=ϕ§3.3扭转剪切虎克定律,pττγτ∝γτG=在弹性范围内切应力与切应变成正比关系。§3.3扭转dxmTτtdy2.切应力互等定理dydxtτdzdxdydzyzxττ′()()dydzdxdxdzdyττ′=ττ′=§3.3扭转ττ′=切应力互等定理单元体在其两对互相垂直的平面上只有切应力而无正应力的状态称为纯剪切应力状态。dabcττ'τ'τxyzabOcddxdydzτ'τττ'在相互垂直的两个面上，切应力总是成对出现，并且大小相等，方向同时指向或同时背离两个面的交线。§3.3扭转ασασαα2coscos==pασαταα2sin2sin==pασαταpαFFαpασα=45οα=−45οατ证明切应力互等定理的另一个例子§3.3扭转一、圆轴扭转时横截面上的应力一）、几何条件：由实验找出变形规律→应变的变化规律1、实验：3.3.2圆轴扭转§3.3扭转观察变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。扭转平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，且形状、大小以及间距不变，半径仍为直线。定性分析横截面上的应力00=∴=σε∵（1）00≠∴≠τγ∵（2）因为同一圆周上剪应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等，并且方向垂直于其半径方向。§3.3扭转D’dxRddxDDtgϕγγ==≈'ρργγtg≈xddd′=xddϕρ⋅=取楔形体O1O2ABCD为研究对象剪应变的变化规律：微段扭转变形dϕ§3.3扭转dxdϕργρ=二）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律Pττ≤maxγτG=→ρργτG=dxdGϕρτρ=dϕ/dx－扭转角变化率弹性范围内方向垂直于半径。§3.3扭转三）静力学条件：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式ρτρ⋅⋅∫=ATAdAIApd2ρ∫=令xGITpddϕ=代入物理关系式得：xGddϕρτρ=pITρτρ⋅=圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算式。pGITx=ddϕAxGAddd2ρϕ∫=ρdATτIp—截面的极惯性矩，单位：44,mmm§3.3扭转横截面上—PPPWTITIT===maxmaxmaxρρτ—抗扭截面模量，整个圆轴上——等直杆：PWTmaxmax=τIp—截面的极惯性矩，单位：44,mmm二、圆轴中τmax的确定.,33mmm单位：maxρpPIW=PW§3.3扭转四、圆截面的极惯性矩Ip和抗扭截面系数Wp∫=AAId2pρ16π2/3ppddIW==)dπ2(202∫=dρρρ32π4d=ρρdπ2d=A2/04)4π(2dρ=实心圆截面：Odρρd§3.3扭转∫=223pdπ2DdIρρ()()4344pp116π16π2/α−=−==DDdDDIW空心圆截面：ρρdπ2d=A()4432πdD−=()44132πα−=DDd=αDdρρOd§3.3扭转注意：对于空心圆截面()33p16πdDW−≠()44p32πdDI−=DdρρOd§3.3扭转1、强度条件：2、强度条件应用：1）校核强度:.)1(16,16433⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=空心实心αππDDWPPWTmaxmax=τ≤[]τPW≥][maxτT2）设计截面尺寸:3）确定外荷载:maxT][τ⋅PW≤m⇒一、扭转强度计算][maxττ≤maxpmax⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=WTτpmaxmaxWT=τ等截面圆轴:变截面圆轴:3.3.3扭转切应力强度条件§3.3扭转例1：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得τπmax=Trt22=×××18010201300332π..=565.MPa(2)利用精确的扭转理论可求得τπαmax()=−TD34161=××−⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥18010029161230290334π.=622.MPa§3.3扭转例2已知T=1.5kN.m，[τ]=50MPa，试根据强度条件设计实心圆轴与a=0.9的空心圆轴。解：1.确定实心圆轴直径[]τ≤316πdT[]3π16τTd≥mm54=d取：m5350.0Pa)10π(50)mN101.5(16363=×⋅×=][maxττ≤16π3maxdT=τ§3.3扭转2.确定空心圆轴内、外径[]34π116()TDτα≤−[]mm3.76)1(π1634=−≥ταTDmm7.68==Ddα77mm69mmDd==取：，3.重量比较%5.394π)(4π222=−=ddDβ空心轴远比实心轴轻()43p116πα−=DW§3.3扭转例3图示阶梯状圆轴，AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm。扭转力偶矩MA=22kN•m，MB=36kN•m，MC=14kN•m。材料的许用切应力[τ]=80MPa，试校核该轴的强度。解：1、求内力，作出轴的扭矩图2214T图（kN·m）MAMBⅡⅠMCACB§3.3扭转BC段()MPa3.71mm10016πmmN1014362p2max,2=⋅×==WTτAB段1p1max,1WT=τ2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度()MPa8.64mm12016πmmN102236=⋅×=MPa80][=τ即该轴满足强度条件。2214T图（kN·m）AB段直径d1=120mm，BC段直径d2=100mm[τ]=80MPa§3.3扭转作业教材P843.17