初二升初三数学衔接班资料(北师版)

1第一章节直角三角形的边角关系第一讲1.从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重点）1、正切的定义在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tanA.即tanA=baA的邻边的对边A.注：tanA的值越大，AB越陡.例1如图，△ABC是等腰直角三角形，求tanC.例2如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA的值.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或坡比）。坡度常用字母i表示。斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lhatan注意：（1）坡度一般写成1：m的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a，坡度为alhitan，坡度越大，则a角越大，坡面越陡。例3如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,坝顶宽BC为6m,坝高为3.2m,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i＝1:2变成i′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.求加高后的坝底HD的长为多少?3、正弦、余弦的定义DCBA2在Rt中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。即sinA=ca斜边的对边A∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA。即cosA=cb斜边的邻边A.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.例4在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA、sinB、cosA、cosB的值。通过计算你有什么发现？请加以证明。4、三角函数的定义（重点）直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222cba；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系:sinA=ca,cosA=cb,tanA=ba.（其中∠A的对边为a,∠B的对边为b,∠C的对边为c）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。例5方方和圆圆分别将两根木棒AB=10cm，CD=6cm斜立在墙上，其中BE=6cm，DE=2cm，你能判断谁的木棒更陡吗？说明理由。本节作业：1、∠C=90°，点D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=53，求CD的长。2、P是a的边OA上一点，且P点的坐标为（3,4），3求sina、tana的值。3、在△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD=31，求tanA的值。4、在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=125，周长为30，求△ABC的面积。5、（2008·浙江中考）在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2,AC=3,则sinB的值是多少？第2讲30°,45°,60°角的三角函数值本节内容：30°，45°，60°角的三角函数值（重点）1、30°，45°，60°角的三角函数值（重点）根据正弦、余弦和正切的定义，可以得到如下几个常用的特殊角的正弦、余弦和正切值。4例1求下列各式的值。（1）60tan30sin60sin；（2）45sin22460tan460tan2。本节作业：1、求下列各式的值。（1）45tan30tan330sin2；（2）30cos60tan45cos2。(3)6tan230°－3sin60°＋2tan45°(4)022)30tan45(sin)60cos(160sin260sin60tan245tanooooooo2、已知a为锐角，且tana=5，求aaaasincos2cos3sin的值。53、△ABC表示光华中学的一块三角形空地，为美化校园环境，准备在空地内种植草皮，已知某种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少花费多少元？4、（2008·成都中考）245cos的值等于________。5、（2008·义乌中考）计算3845cos260sin3。6、（2009深圳）（6分）计算：2202(3)(3.14)8sin457、（2010深圳）(13)－2－2sin45º＋(π－3.14)0＋128＋(－1)3．第3讲锐角三角函数计算的实际应用知识点：1.仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角成为俯角。2.方向角：从南北方向线较近的一端起，到目标方向线的夹角，如图所示：射线OA为北偏东60°，射线OB为南偏西30°，此外，东、南、西、北四个方向角平分线分别是东北、东南、西南、西北。例1如图，山脚下有一颗树AB，小华从点B沿山坡向上走50米到达点D，用高为1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB的高（精确到0.1m）6（已知,26.015sin,18.010tan,98.010cos,17.010sin97.015cos27.015tan）。例2.小刚面对黑板坐在椅子上。若把黑板看做矩形，其上的一个字看作点E，过点E的该矩形的高为BC，把小刚眼睛看做点A。现测得BC=1.41米，视线AC恰与水平线平行,视线AB与AC的夹角为25°,视线AE与AC的夹角为20°，求AC与AE的长（精确到0.1米）。例3某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图。BC//AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对土坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡。（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（精确到0.1m）（2）为确保安全，学校计划改造时，保持坡脚A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？（精确到0.1m）（,4751.268tan,3746.068cos,9272.068sin,7660.050sin,6428.050cos1918.150tan）例4如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图,请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF。（参考数据：,84.040tan,77.0cos,64.040sin结果精确到0.1m）7例5要求45tan的值,可构造直角三角形,作Rt△ABC,使∠C=90°,两直角边AC=BC=a,则∠ABC=45°,所以145tanaaBCAC.你能否在此基础上,求出3022tan的值？例6在学习实践科学发展观的活动中,某单位在如图所示的办公楼迎街的墙面上垂直挂了一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°,测得条幅底端E的仰角为30°.问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量？（精确到整数米）例7某轮船自西向东航行，在A处测得某岛C在其北偏东60°方向上，前进8千米到达B，测得该岛在轮船的北偏东30°方向上，问轮船继续前进多少千米与小岛的距离最近？第4讲船有触礁的危险吗本节内容：方向角的定义解直角三角形（重点）解直角三角形的实际应用（难点）例1某次台风袭击了我国南部海域。如图，台风来临前，我们海上搜救中心A接到一越南籍渔船遇险的报警，于是指令位于A的正南方向180海里的救援队B立即前往施救。已知渔船所处位置C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，此时离台风来到C处还有12小时，如果救援船每小时行驶20海里，试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？（参考数据：3234tan,5334sin,263tan,10963sin）8解直角三角形（重点）在直角三角形中，由已知一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为cba、、。（1）三边之间关系：222cba（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°（3）边角之间关系：BbaABcbABcaAtan1tan,sincos,cossin（4）面积公式：)(2121为斜边上的高hchabSABC在直角三角形中，除直角的五个量中，若已知其中的两个量（其中至少有一条边），就可以求出另外三个未知量，有如下四种类型：Rt△ABC中，∠C=90°已知选择的边角关系斜边和一直角边ac,由caAsin，求∠A；∠B=90°-∠A，22acb两直角边ba,由baAtan，求∠A；∠B=90°-∠A，22bac斜边和一锐角Ac,∠B=90°-∠A；Acasin；Acbcos一直角边和一锐角Aa,∠B=90°-∠A；Aabtan，Aacsin注意：（1）在解直角三角形中，正确选择关系式是关键：①若求边：一般用未知边比已知边，求寻找已知角的某一个三角函数；②若求角：一般用已知边比已知边，去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。选择关系式常遵循以下原则：一是尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是设法选择便于计算的关系式，若能用乘法计算就避免用除法计算。（2）对于含有非基本量的直角三角形，比如有些条件中已知两边之和，中线、高线、角平分线长，角之间的关系，锐角三角函数值，周长、面积等等。对于这类问题，我们常用的解题方法是：将非基本量转化为基本量，或由基本量间关系通过列方程（组），然后解方程（组），求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的。（3）在非直角三角形的问题中，往往是通过作三角形的高，构成直角三角形来解决，而作高时，常从非特殊角的顶点作高；对于较复杂的图形，往往通过“补形”或“分割”的方法，构造出直角三角形，利用解直角三角形的方法，实现问题的有机转化。例2某公园“六一”亲新增设一台滑梯，如图。滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m。（1）求滑梯AB的长；（结果精确到0.1m）（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？93、解直角三角形的实际应用（难点）在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。一般有以下几个步骤：1.审题：认真分析题意，根据题目中的已知条件，画出它的平面图，弄清已知和未知；2.明确题目中的一些名词、术语的汉语，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡度及方向角；3.是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为直角三角形进行解决；4.确定合适的边角关系，细心推理计算。例3台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数千米范围内形成旋风暴，有极强的破坏力。根据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心，其中心的最大风力为12级，每远离台风中心20千米，台风就会弱一级。台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市风力达到或超过4级，则称为受台风影响。（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风影响，那么台风影响该市的持续时间有多长？典型例题：例1在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠ABC=45°，求BC的长。例2如图，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼。甲船以每小时152千米的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现鱼具丢在了乙船上，于是甲船快速（匀速）沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。（1）甲船从C处追赶乙船用了多长时间？（2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？10例3某年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，一条