数学：2.2.1直线方程的概念与直线的斜率 课件(新人教B版必修2)

2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率1.了解直线的方程与方程的直线的概念和关系．2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．学习目标课堂互动讲练知能优化训练课前自主学案2.2.1课前自主学案温故夯基1．一次函数的图象是一条直线，直线上点的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在直线上．2．常见的直线函数图象有常数函数，正比例函数等．1．直线方程的概念一般地，如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个方程的直线．由于方程y＝kx＋b的图象是__________，因而我们今后就常说_______________.知新益能一条直线直线y＝kx＋b2．直线的斜率(1)直线y＝kx＋b被其上的________________的点所唯一确定(右图)．因此，由这条直线上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标可以计算出k的值，任意两个不同k＝_______________．由直线上两点的坐标求这条直线的斜率k与这两点在直线上的___________，于是k＝y1－y2x1－x2.如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则Δx表示自变量x的改变量，Δy表示相应的y的改变量，于是_______________．y2－y1x2－x1(x1≠x2)顺序无关k＝ΔyΔx(Δx≠0)(2)斜率的定义通常，我们把直线y＝kx＋b中的________叫做这条直线的斜率．垂直于x轴的直线____________．斜率反映直线的_____________．3．直线的倾斜角(1)定义x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为________．系数k不存在斜率倾斜程度零度角(2)斜率与倾斜角的关系由斜率k的定义可知：k＝0时，直线平行于x轴或与x轴重合．k＞0时，直线的倾斜角为________；k值增大，直线的倾斜角也随着________．k＜0时，直线的倾斜角为_________；k值增大，直线的倾斜角也随着________．垂直于x轴的直线的倾斜角等于________.锐角增大钝角增大90°思考感悟过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1＝x2的直线的倾斜角和斜率怎样？提示：此时，倾斜角为90°，斜率不存在．课堂互动讲练直线方程的概念考点突破两点确定一条直线，直线上的点和方程的解是一一对应关系．例1已知方程2x＋3y＋6＝0.(1)求方程所对应直线的斜率；(2)画出这个方程所对应的直线l；(3)点(32，1)是否在直线l上？(4)方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线l的方程？直线l是不是该方程的直线？【分析】举反例即可说明方程不是直线l的方程．【解】(1)由方程2x＋3y＋6＝0，得y＝－23x－2，∴方程所对应直线的斜率k＝－23.(2)在方程中令x＝0或y＝0，得A(0，－2)，B(－3,0)，如图所示，直线AB即为所求直线l的图象．(3)∵当x＝32，y＝1时，方程的左边＝2×32＋3×1＋6＝12，右边＝0，∴左边≠右边．∴点(32，1)不在直线l上．(4)虽然以方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的解为坐标的点都在l上，但是l上点的坐标不都是该方程的解，比如点C(－32，－1)∈l，但x＝－32y＝－1不是该方程的解，所以方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线l的方程，直线l也不是方程2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线．【点评】画二元一次方程所表示的图象同画一次函数图象一样，取的两点一般是坐标轴上的点．跟踪训练1如图所示，方程y－ax－1a＝0的直线可能是()答案：B求直线的斜率根据斜率定义或者斜率公式求斜率．例2已知直线l经过两点A(2，－1)，B(t,4)，求直线l的斜率．【分析】点B的坐标中含参数t，注意分类讨论．【解】(1)当t＝2时，x1＝x2＝2，直线l与x轴垂直，∴直线l的斜率不存在．(2)当t≠2时，直线l的斜率k＝4－－1t－2＝5t－2.∴综上所述，当t＝2时，斜率不存在；当t≠2时，k＝5t－2.【点评】应用斜率公式表示直线斜率时，一定注意x1≠x2的条件，遇到参数时要根据参数的取值进行讨论．跟踪训练2求过下列两点的直线l的斜率k.(1)A(a，b)、B(ma，mb)(m≠1，a≠0)；(2)P(2,1)、Q(m,2)．解：(1)∵m≠1，a≠0，∴k＝b－mba－ma＝ba.(2)当m＝2时，斜率k不存在；当m≠2时，k＝1－22－m＝1m－2.斜率公式的应用构造斜率公式k＝y2－y1x2－x1的形式，利用数形结合解题．例3已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求：yx的最大值和最小值．【分析】因为yx＝y－0x－0它表示动点(x，y)与定点(0,0)连线的斜率，而(x，y)满足2x＋y＝8(2≤x≤3)是直线段上的一个动点，于是本题转化为求斜率最值问题．【解】如图所示，由于点P(x，y)满足方程2x＋y＝8(2≤x≤3)，故点P为线段AB上的动点，由于A(2,4)，B(3,2)，kOA＝2，kOB＝23，而k＝yx＝kOP，由作图可知yx的最大值为kOA＝2，最小值为kOB＝23.【点评】将代数式yx转化为直线OP的斜率，利用数形结合解决此类问题，是解析几何中经常运用的方法，在解题时，应注意代数式的几何意义．跟踪训练3已知直线l：y＝ax＋2和两点A(1,4)，B(3,1)，当直线l与线段AB相交时，求实数a的取值范围．解：如图所示，直线l过定点C(0,2)，kCB＝1－23－0＝－13，kCA＝4－21－0＝2，kl＝a.当直线l与线段AB相交时，kCB≤kl≤kCA，∴－13≤a≤2.方法感悟1．给出直线上一点坐标以及直线的斜率k，设出直线方程y＝kx＋b，再由待定系数法确定b的值即可得直线方程．当直线斜率不存在时，直线方程为x＝a.2．给出直线方程为Ax＋By＋C＝0(A、B、C为系数)时，令x＝0，得直线与y轴的交点；令y＝0，得直线与x轴的交点．连接直线与坐标轴的两个交点可得直线，即两点法画直线(这两点可以不是直线与坐标轴交点)．3．将直线方程Ax＋By＋C＝0(B≠0)化为y＝－ABx－CB，则直线斜率为k＝－AB.4．直线斜率公式k＝y2－y1x2－x1的条件为x1≠x2，应用此公式时常常用到方程思想．5．倾斜角和斜率都反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．倾斜角直接反映倾斜程度．倾斜角与斜率的关系如下：若直线斜率k0，则倾斜角为锐角；若k0，倾斜角为钝角；若k不存在，倾斜角为90°；若k＝0，倾斜角为0°.当直线斜率k0时，直线斜率越大，倾斜角越大；当直线斜率k0时，直线斜率越大，倾斜角越大．任一直线均有倾斜角α，α∈[0°，180°)，但并不是所有直线都有斜率．6．与光的反射有关的题目中，入射角一定等于反射角，只有当反射面水平(与x轴平行或重合)时，有k入＝－k反．其它情况下，不一定有此结论．7．已知三点A，B，C，若kAB＝kAC，则AB的倾斜角与AC的倾斜角相同，AB，AC两条直线重合，说明这三点共线．8．掌握斜率的求法及斜率公式，并把斜率的计算公式迁移到代数函数或三角函数的最大、最小值中去，形成数形结合的方法．