xin第3章 描述统计学Ⅱ ：数值方法

应用统计学项目管理工程硕士学位课程1西安工程大学管理学院第3章描述统计学Ⅱ：数值方法西安工程大学管理学院2位置的度量——平均数zz3西安工程大学管理学院位置的度量——中位数z中位数(median)：由小到大排序后，处于“中间位置”的数据。z如果是奇数个观测值时，中位数是中间那个数。z如果是偶数个观测值时，中位数是中间两个的平均值。西安工程大学管理学院4位置的度量——众数z众数(Mode)：出现频率最高的那个样本值。z注：众数可能会有多个，适用于分类型和数量型数据。西安工程大学管理学院5均值、中位数和众数的比较z1）数据的分布是单峰对称时，三者重合；z2）偏斜分布时，相对于众数，中位数朝尾巴方向偏离了一些，均值偏离得更远；z3）一般情况下，中位数居中，众数和均值处在两边；z4）众数是最高峰对应的横坐标。西安工程大学管理学院6某商品价格西安工程大学管理学院7男生身高西安工程大学管理学院8男生身高西安工程大学管理学院9众数中位数均值10均值中位数众数歌手大赛z电视台举办业余歌手大赛，11名评委对某位歌手的评分分别是：z9.99.39.39.39.28.98.88.88.78.58.4z众数=9.3，中位数=8.9，均值=9.01z假定复赛还是这11名评委，给分是：z9.99.39.39.29.28.88.88.88.78.58.4z众数=8.8，中位数=8.8，均值=8.99西安工程大学管理学院11歌手大赛z再假定，工作人员粗心，将8.4写成了0.4，z则z众数=8.8，中位数=8.8，均值=8.26z均值对异常值敏感。西安工程大学管理学院12四分位数z第一四分位数（quartiles）把排序后的数据分成左右两部分，左边包含四分之一数据观测值，右边包含四分之三的数据观测值。第二四分位数处于观测值数目的中间位置(中位数)。第三四分位数（quartiles）把排序后的数据分成左右两部分，左边包含四分之三数据观测值，右边包含四分之一的数据观测值。西安工程大学管理学院1314第一四分位数的计算–将数据由小到大排列，记排列后的数据为–令：–其中表示向上取整，如。则第一四分位数就是，即约有1/4的数据比小，3/4的数据比大。如果i是整数，则第p百分位数是第i项和第i+1项的平均值。nxxx,,,21L⎥⎥⎤⎢⎢⎡×=ni10025⎡⎤⎡⎤⎡⎤55,61.5==ixixix15第三四分位数的计算–将数据由小到大排列，记排列后的数据为–令：–其中表示向上取整，如。则第一四分位数就是，即约有1/4的数据比大，3/4的数据比小。如果i是整数，则第p百分位数是第i项和第i+1项的平均值。nxxx,,,21L⎥⎥⎤⎢⎢⎡×=ni10075⎡⎤⎡⎤⎡⎤55,61.5==ixixix百分位数z第p百分位数把数据分成左右两部分，大约有p%的观测值比它小，而(1-p)%的观测值比它大。计算办法与四分位数类似。第25百分位数就是第一四分位数。西安工程大学管理学院1617百分位数的计算–将数据由小到大排列，记排列后的数据为–令：–其中表示向上取整，如。则第p百分位数就是。–如果i是整数，则第p百分位数是第i项和第i+1项的平均值。nxxx,,,21L⎥⎥⎤⎢⎢⎡×=npi100⎡⎤⎡⎤⎡⎤55,61.5==ix18例子z例2.8某班30名MBA学生的年龄按上升顺序排列如下表。请计算这组数据的众数、中数、平均数、第一四分位数和第三四分位数。z众数为27和28；分别出现5次z中位数为（27+28）/2=27.5z平均数为27.67z第一四分位数x8=26，第三四分位数为x23=30z极大值为32极小值为24z第10百分位数为25，第90百分位数为31242425252525262626262727272727282828282829293030303031313132计算机输出西安工程大学管理学院19变异程度的度量z极差（range）：最大值与最小值之差。z四分位数间距（inter-quartilerange）:是中间50%的数据的极差。z四分位数间距能够克服极端值的影响。西安工程大学管理学院20变异程度的度量：方差z总体方差（populationvariance）z样本方差(Samplevariance)z标准差（standarddeviation）z标准差系数（coefficientofvariance）西安工程大学管理学院21样本方差和样本标准差西安工程大学管理学院22总体方差和总体标准差西安工程大学管理学院23222)(σσμσ=−=∑总体标准差：总体方差：Nxi标准差系数CV西安工程大学管理学院24%100/×=xsCV几种变异程度度量的比较z极差：容易计算。但最不稳定，特别容易受极端值的影响。z四分位数间距：稳定性较弱，对极端值不敏感。z方差和标准差：计算时要用到全部数据，能比较合理地反映不同数据对离散度量的作用。容易受极端值的影响。z变异系数：比较两组或两组以上数据集的离散程度时，应采用无量度单位的变异系数CV。z注：描述样本数据的分布中心常用样本均值，描述样本数据的分布形状常用样本标准差。西安工程大学管理学院25分布形态：对称钟形西安工程大学管理学院26分布形态：向右偏西安工程大学管理学院27分布形态：向左偏西安工程大学管理学院28Z-分数z度量数据集中一个特定的数据距均值有多远，用标准差度量。西安工程大学管理学院29.样本标准差—样本均值；—分数；的是—式中，sxzxzsxxziiii−−=班级人数的例子z某大学5个班级组成一个样本，每个班的学生人数如下：z4654424632z计算离差、标准差、Z-分数z均值=44；方差=64；标准差=8.西安工程大学管理学院30班级人数：手工计算西安工程大学管理学院31班级人数：软件输出西安工程大学管理学院32标准误计算公式西安工程大学管理学院33样本个数标准差标准误==NσMeanofStd.Error班级人数z-分数西安工程大学管理学院34切比雪夫定理z对任何分布的数据，都有：z至少有75%的数据值与均值的距离在z=2个标准差之内。z至少有89%的数据值与均值的距离在z=3个标准差之内。z至少有94%的数据值与均值的距离在z=4个标准差之内。西安工程大学管理学院35经验法则z对于具有钟形分布的数据，有：z68.3%的数据与平均数的距离在1个标准差之内；z95.4%的数据与平均数的距离在2个标准差之内；z99.7%的数据与平均数的距离在3个标准差之内。西安工程大学管理学院36例子z某校同学的身高为钟形分布，平均值为170cm，标准差为10cm。问：z1）高于平均数1.5个标准差的同学身高是多少？z2）162cm身高的同学距平均数有几个标准差?z3）75%的同学身高会在什么范围内？西安工程大学管理学院37例子z解1：Xi≥170+1.5*10=185cmz解2:Z=(162-170)/10=-0.8;z解3:xi=x-z*s=170-2*10=150zxi=x+z*s=170+2*10=190(150~190)z因为“至少有75%的数据值与均值的距离在z=2个标准差之内。”西安工程大学管理学院38切比雪夫定理_一般表述z与平均数的距离在z个标准差之内的数据z值所占比例至少为（），其中z是z大于1的任意实数。西安工程大学管理学院39211z−考试成绩z假定有100名大学生的统计学课程考试成绩的平均分是70分，标准差为5分。那么有多少学生的考试成绩在58-82分？z(58-70)/5=-2.4,(82-70)/5=2.4，这样z=2.4,z于是，z结论：至少有82.6%的成绩在58-82之间。西安工程大学管理学院40826.0)4.211()11(22=−=−z检测异常值z用z-分数检测异常值。根据钟形分布的经验法则，将z-分数大于3和小于-3的观察值视为异常值。西安工程大学管理学院41探索性数据分析：五数概括法z用5个数来汇总数据：z1）最小值z2）第一四分位数z3）中位数z4）第三四分位数z5）最大值z这5个数把变量的所有观测值分成4部分。西安工程大学管理学院42箱形图（boxplot）z用矩形表示箱体，左右边分别代表第一、第三四分位数；矩形中间画一条线，代表中位数；箱体左边向左画一条线，到最左边，代表四分位数间距的1.5倍的位置，右边也一样。左右两条横线叫触须线。z箱形图也可以检测异常值。西安工程大学管理学院43箱形图西安工程大学管理学院44四分位数间距IQR第一四分位数第三四分位数1.5IQR1.5IQR中位数数据轴（按上升排列）商学院毕业生起始月薪（美元）西安工程大学管理学院45月薪的五数概括西安工程大学管理学院46月薪的箱形图西安工程大学管理学院47两变量间关系的度量：协方差z假定有两个变量和的观测数据：z这两个变量的样本协方差定义为：西安工程大学管理学院48),).......(,(),,(),,(332211nnyxyxyxyx1))((−−−=∑nyyxxsiixyxy总体协方差定义西安工程大学管理学院49Nyxyixixy∑−−=))((μμσ总体协方差的解释：音响店西安工程大学管理学院503=x51=yⅠⅡⅢⅣ相关系数z皮尔逊样本相关系数的定义：西安工程大学管理学院51的样本标准差表示的样本标准差表示ysxssssryxyxxyxy=总体相关系数的定义西安工程大学管理学院52的总体标准差表示的总体标准差；表示yxyxyxxyxyσσσσσρ=加权平均数：需要加权的例子z以下是过去3个月购买5批次原材料的样本。z价格的平均数就要用数量做权重。西安工程大学管理学院53加权平均数的计算公式西安工程大学管理学院54∑∑=iiiwxwx原材料加权平均数的计算西安工程大学管理学院55分组数据z有时候得到的是分组数据，那么求均值和样本方差就要利用加权公式。西安工程大学管理学院56分组数据计算样本方差西安工程大学管理学院571)(22−−=∑nxMfsii计算机输出西安工程大学管理学院58