12-11《二次函数》知识点梳理与总结

(九下)二次函数《二次函数》知识点第1页共21页九年级《二次函数》知识梳理与总结考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.注意点：（1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a≠0，而b、c为任意实数。（2）当b=c=0时，二次函数2axy是最简单的二次函数。（3）二次函数cbacbxaxy,,(2是常数，)0a自变量的取值为全体实数（cbxax2为整式）典型例题：例1：函数y=（m＋2）x22m＋2x－1是二次函数，则m=．例2：已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a时，是二次函数；当a，b时，是一次函数；当a，b，c时，是正比例函数．例3：函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（）A．m、n为常数，且m≠0B．m、n为常数，且m≠nC．m、n为常数，且n≠0D．m、n可以为任何常数(九下)二次函数《二次函数》知识点第2页共21页例4：下列函数中是二次函数的有（）①y=x＋x1；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④y=21x＋x．A．1个B．2个C．3个D．4个考点2、三种函数解析式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），对称轴：直线x=ab2顶点坐标：(abacab4422，)（2）顶点式：khxay2（a≠0），对称轴：直线x=h顶点坐标为（h,k）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）,对称轴:直线x=22x1x(其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822xxy的顶点坐标为；对称轴是。例2：二次函数y=-4（1+2x）（x-3）的一般形式是例3：已知函数2)(22xmmmxy的图象关于y轴对称，则m＝________；例4：抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点坐标是________.例5：把方程x（x+2）=5（x-2）化为一元二次方程的一般形式后a=(),b=(),c=()(九下)二次函数《二次函数》知识点第3页共21页例6：考点3、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.例1：一个二次函数的图象顶点坐标为（-5，1），形状与抛物线y=2x2相同，这个函数解析式为____________．例2：已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2），求抛物线的解析式。例3：已知二次函数的图像经过（0，1），（2，1）和（3，4），求该二次函数的解析式。(九下)二次函数《二次函数》知识点第4页共21页例4：已知二次函数的图像与x轴的2个交点为（1，0），（2，0），并且过（3，4），求该二次函数的解析式。考点4.二次函数的图象1、二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线.2、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到3、二次函数cbxaxy2的图像的画法因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是：(1)先找出顶点坐标，画出对称轴；(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)；(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.典型例题：例1：函数y=x2的顶点坐标为．若点（a，4）在其图象上，则a的值是．例2：若点A（3，m）是抛物线y=－x2上一点，则m=．例3：函数y=x2与y=－x2的图象关于对称，也可以认为y=－x2，是函数y=x2的图象绕旋转得到．例4：若二次函数y=ax2（a≠0），图象过点P（2，－8），则函数表达式为．例5：．函数y=x2的图象的对称轴为，与对称轴的交点为，是函数的顶点．(九下)二次函数《二次函数》知识点第5页共21页例6：点A（21，b）是抛物线y=x2上的一点，则b=；点A关于y轴的对称点B是，它在函数上；点A关于原点的对称点C是，它在函数上．例7：若a＞1，点（－a－1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？例8：如图，A、B分别为y=x2上两点，且线段AB⊥y轴，若AB=6，则直线AB的表达式为（）A．y=3B．y=6C．y=9D．y=36考点5.二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x（y轴）（0,0）kaxy20x（y轴）(0,k)2hxayhx(h,0)khxay2hx(h,k)cbxaxy2abx2(abacab4422，)(九下)二次函数《二次函数》知识点第6页共21页注：常用性质：1、开口方向：当a0时，函数开口方向向上；当a0时，函数开口方向向下；2、增减性：当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；3、最大或最小值：当a0时，函数有最小值，并且当x=ab2，y最小＝abac442当a0时，函数有最大值，并且当x=ab2，y最大＝abac442典型例题：例1：抛物线的顶点在y轴上，则m的值为______________。例2：按要求求出下列二次函数的解析式：（1）形状与的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，－3）的抛物线的解析式；（2）与抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式；（3）对称轴是y轴，顶点的纵坐标是，且经过（1，1）点的抛物线的解析式。(九下)二次函数《二次函数》知识点第7页共21页例3：已知函数（1）写出抛物线的开口方向，顶点坐标、对称轴及最值；（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；（3）观察图象：x为何值时，y随x的增大而增大；（4）观察图象：当x为何值时，y0时，当x为何值时，y=0；当x为何值时，y0。例4：已知二次函数，根据下列给出的条件求出相应的k的值。（1）抛物线的顶点在x轴上；（2）抛物线的顶点在y轴上；（3）抛物线的顶点在y=4x上。考点7.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。①a的符号决定抛物线的开口方向②对称轴平行于y轴（或重合）的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0x.③顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.典型例题例1：函数在同一坐标系中的图象大致是图中的（）(九下)二次函数《二次函数》知识点第8页共21页例2：(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（－2，3）C．（2，－3）D．（－2，－3）例3：（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2yx的最小值是（）．A．2B．1C．－3D．23例4：(2009年上海市)抛物线22()yxmn（mn，是常数）的顶点坐标是（）A．()mn，B．()mn，C．()mn，D．()mn，例5：（2009湖北省荆门市）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）考点8.抛物线cbxaxy2中a、b、c的作用1、a决定抛物线的开口方向和开口大小a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，函数开口方向向上；A．B．C．D．1111xoyyoxyoxxoy(九下)二次函数《二次函数》知识点第9页共21页当a0时，函数开口方向向下；a的大小决定抛物线的开口大小：当a越大时，开口越小；当a越小时，开口越大；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2、a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=ab2）左同右异：①如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。②如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。注意点：①0b时，对称轴为y轴；②0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；③0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.3、c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）当0x时，cy，∴抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c）：注意点：①0c，抛物线经过原点;②0c,与y轴交于正半轴；③0c,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab.典型例题例1：已知抛物线经过原点和第一、二、三象限，则（）A.a0，b0，c=0B.a0，b0，c=0C.a0，b0，c0D.a0，b0，c=0(九下)二次函数《二次函数》知识点第10页共21页例2：在同一直角坐标系中，直线y=ax+b和抛物线的图象只可能是图中的（）例3：在同一直角坐标系中，函数的图象只可能是图中的（）例4：（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（）A、y=x2-x-2B、y=121212xC、y=121212xxD、y=22xx(九下)二次函数《二次函数》知识点第11页共21页例5：（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，则下列结论：0ac①；②方程20axbxc的两根之和大于0；y③随x的增大而增大；④0abc，其中正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个例6：（2009丽水市）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a＞0.②该函数的图象关于直线1x对称.③当13xx或时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0考点9、抛物线的平移方法：左加右减，上加下减抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式――――――――――――――→向上（k0）向下（k0）平移︱k︱个单位↓xyO12axykaxy2O(九下)二次函数《二次函数》知识点第12页共21页↓―――――――――――→向上（k0）向下（k0）平移︱k︱个单位典型例题：例1：（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A．222xyB．222xyC．2)2(2xyD．2)2(2xy例2：2009年孝感）将函数2yxx的图象向右平移a(0)a个单位，得到函数232yxx的图象，则a的值为A．1B．2C．3D．4例3：（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22yxx关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22yxxB．22yxxC．22yxxD．22yxx例4：（2009年兰州）把抛物线2yx向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为A．2(1)3yxB．2(1)3yxC．2(1)3yxD．2(1)3yx2hxaykhxay2(九下)二次函数《二次函数》知识点第13页共21页考点10、二次函数cbacbxaxy,,(2是常数，)0a的最大值和最小值的求法二次函数是否有最值，由a的符号确定。1、当a0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x=ab2，y最小＝abac4422、当a时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x=ab2，y最大＝abac442注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。典型例题：例1：抛物线的图象开口_________