全等三角形拓展题---尖子生专用

全等三角形综合应用知识点：1、全等三角形的判定方法：2、角平分线的性质与判定：例题讲解2016武汉江汉区压轴题．（本题12分）△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是△ABC的中线，以AC为边作等边△ACE，BE分别与直线AD、AC交于点F、G，连接CF(1)①如图1，若△ABC、△ACE位于AC异侧，求∠EFC的度数②试判断线段EF、DF、AF之间的数量关系，并说明理由(2)若△ABC、△ACE位于AC同侧，试完成备用图，并直接写出线段EF、DF、AF之间的数量关系解：(1)①∵AB＝AE，∴设∠ABE＝∠AEB＝α∵AB＝AC，AD是△ABC的中线∴设∠BAD＝∠CAD＝β又2α＋2β＋60°＝180°，α＋β＝60°∴∠AFE＝∠DFC＝α＋β＝60°∴∠EFC＝180°－60°－60°＝60°②过点C作CH⊥BE于H∵∠AEB＋∠AEC＝60°，∠ABE＋∠BAD＝60°∴∠BAD＝∠HEC可证：△ABD≌△EHC（AAS）∴HE＝AD易证：△CFH≌△CFD（AAS）∴FH＝DF∴EF－FH＝AF－DF即EF－AF＝2DF(3)作图、证明的过程一样AF－EF＝2DF2016武珞路中学．（本题10分）已知等边三角形ABC，M为AB上的一点，以CM为边作等边△CMN，连接BN(1)求证：AM＝BN(2)作MH⊥BC于H，连接AH．若AH∥MN，AM＝1，求CH的长证明：(1)△ACM≌△BCN（SAS）(2)由(1)知：△ACM≌△BCN∴∠CBN＝∠MAC＝60°∴∠MBN＝60°＋60°＝120过点M作MD∥BC交AC于D∴△AMD为等边三角形∴AM＝AD＝BN，∠ADM＝60°∴BM＝CD，∠MDC＝120°在△BMN和△DCM中DMBNCDMMBNDCBM∴△BMN≌△DCM（SAS）∴∠BMN＝∠DCM∵AH∥MN∴∠BMN＝∠BAH＝∠DCM在△BAH和△ACM中ACMBAHCAABCAMABH∴△BAH≌△ACM（ASA）∴BH＝AM＝1∴BM＝HC∵MH⊥BC，∠MBH＝60°∴BM＝2BH＝2∴CH＝22016武珞路中学．（本题10分）如图1，已知等腰△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，以AB为边向外作等边△ABE，直线CE与直线AD交于点F(1)若AF＝10，DF＝3，试求EF的长(2)若以AB为边向内作等边△ABE，其它条件均不改变，请用尺规作图补全图2（保留作图痕迹），找出EF、AF、DF三者的数量关系，并证明你的结论．解：(1)设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β在△ACE中，2α＋60＋2β＝180°，α＋β＝60°连接BF∴∠BFD＝∠CFD＝60°∴BF＝CF＝2DF＝6在EC上截取EG＝CF，连接AG∴△AEG≌△ACF（SAS）∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF∴∠GAF＝60°∴△AFG为等边三角形∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC＝10＋6＝16(2)尺规作图：先作AB的垂直平分线，再利用半径得到等边设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β∴∠CAE＝180°－2β∴∠BAE＝2α＋180－2β＝60°，β－α＝60°∴∠BAD＝∠BEF在AF上截取AG＝EF，连接BG可知：△ABG≌△EBF（SAS）∴AG＝EF，BG＝BF∴△BFG为等边三角形∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF武汉二中广雅中学2016．（本题12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0＜α＜60°），以线段BC为边在△ABC内作等边△DBC(1)如图1，∠ABD＝_______（用含α的式子表示）(2)如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值例1、（1）在⊿ABC中，∠B=∠C，与⊿ABC全等的三角形有一个角是130°，那么⊿ABC中与这个角对应的角是（）A、∠AB、∠BC、∠CD、∠B或∠C（2）如图1，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他根据所学知识，画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A、SSSB、SASC、AASD、ASA（3）如图2，AD平分∠BAC，BF⊥AD于D，交AC于F，DE∥AC，∠BAD=30°，则∠BDE=______例2、如图3，OM平分AOB，AO=OB，AD与BC相交于M。求证：AC=BD例3、如图4，在⊿ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B。求证：ED=EF例4、如图5，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，G是EF的中点。求证：DG⊥EF．例5、如图6，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE-AF．例6、如图7，P为∠AOB平分线上一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，若OC=4cm。求OA+OB的值。例7、如图8，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=÷4，点E在线段DC上。求证：AD+BC=AB例8、如图9，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD。求证：∠BPA+∠BCP=180°巩固：1、如图，点P为⊿AEF外一点，PA平分∠EAF，PD⊥EF于D，DE=DF，PB⊥AE于B。求证：AF-AB=BE2、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CA平分∠BCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD交CD延长线于F．求证：BE=DF．3、如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH。（1）求证：⊿ACD≌⊿BCE；（2）求证：CH平分∠AHE；（3）求∠CHE的度数（用含α的式子表示）4、如图（1），在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且点B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）试说明：BD=DE+CE．（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD＞CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由．5、如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．6、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（2，2），点A为y轴正半轴上一动点，过B点作BC⊥AB交x轴的正半轴于点C。（1）求证：BA=BC；（2）当点A运动时，OA+OC的值是否发生变化，若不变，求其值；若发生变化，求变化范围7、已知四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），求证AE+CF=EF；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．8、已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=21BF；（3）若把题目中“BE平分∠ABC”改为“BE平分线段DC”，其他条件不变，连接HF．求证：HF=AD．9、直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则EF_____|BE-AF|（填“＞”，“＜”或“=”号）；②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，若使①中的结论仍然成立，则∠α与∠BCA应满足的关系是________；（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．第十一讲：全等三角形综合二知识点：1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF=CE，求证：FK∥AB．例2、如图1，△ABC中，∠BAC=90°，BA=AC，（1）D为AC的中点，连BD，过A点作AE⊥BD于E点，交BC于F点，连DF，求证：∠ADB=∠CDF．（2）若D，M为AC上的三等分点，如图2，连BD，过A作AE⊥BD于点E，交BC于点F，连MF，判断∠ADB与∠CMF的大小关系并证明．例3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．例4、在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是_________（直接写出结论）②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．例5、如图①所示，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为直角边向△ABC外作等腰直角△CAD和等腰直角△CBE，满足∠CAD=∠CBE=90°，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．（1）如图②，当点E恰好在直线l上时，试说明DD1=AB；（2）在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由．例6、如图1，已知点A（a，0），点B（0，b），且a、b满足044ba（1）求A、B两点的坐标；（2）若点C是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A作AD⊥OC于点F，求证：FA=FC；（3）如图2，若点D的坐标为（0，1），过点A作AE⊥AD，且AE=AD，连接BE交x轴于点G，求G点的坐标．巩固：1、如图，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，EF∥BC交AC于点F．试说明AE=CF．2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．3、如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC。求证：EB⊥AB．4、如图，在△ABC中，∠ACB=90゜，P为AC上一点，PQ⊥AB于Q，AM⊥AB交BP的延长线于M，MN⊥AC于N，AQ=MN．（1）求证：AP=AM；（2）求证：PC=AN．5、如图，△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP．6、将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图（1）方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）求证：CF=EF；（2）若将图（1）中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角a，且0°＜a＜60°，其他条件不变，如图（2）．请你直接写出AF+EF与DE的大小关系：