从力做的功到向量的数量积导学案

从力做的功到向量的数量积一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系；向量的夹角。（3）掌握平面向量数量积性质和运算律及它的一些简单应用。2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义。通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的概念、物理意义、几何意义及其性质；向量数量积的运算律.难点:对向量数量积概念的理解和应用。三.学法(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.教学设想创设问题情景，引出新课1、问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？2、问题2：两个向量之间能进行乘法运算吗？物理学中有没有两个向量之间的有关乘法运算？阅读课文第91页实例分析。回答下列问题：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是量，②F（力）是量，③S（位移）是量，④是。0°≤＜90°时，w0，力做功；=90°，w0，力不做功；90°＜≤180°，w0，力做功。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?（4）如果我们将公式中的力与位移的运算推广到一般向量，其结果又该如何表述？还应该注意什么问题？sF探究问题：1、向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a，OB=b，∠AOB=（0°≤≤180°）叫作向量a与b的夹角。当=0°时，a与b同向；当=180°时，a与b反向；当=90°时，a与b垂直，记作a⊥b。规定：零向量可与任一向量垂直。画出以下几组向量的夹角：练习：在ABC中已知A=45°，B=50°，C=85°。求下列向量的夹角：（1）ABAC与（2）ABC与B（3）ACC与B的夹角。2、射影的概念cosb叫作向量b在a方向上的射影。给出如下六个图形，让学生指出b在a方向上的射影，并判断其正负。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当为锐角时射影为值；当为钝角时射影为值；当为直角时射影为；当=0时射影为；当=180时射影为abOABabB1BAOabB1BAOaB1()BAOOABAOB3、数量积的定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量︱a︱·︱b︱cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b=︱a︱·︱b︱cosθ注意：①ab不能写成ab或ab的形式。②两个向量的数量积是一个数量。这个数量的大小与这两个向量的长度及夹角有关。其正负如何确定？当为锐角时，cosabab0；当为钝角时，cosabab0；当90时，cosabab=0；当0时，abab；当180时，abab。数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a方向上投影cosb的乘积，或b的长度︱b︱与a在b方向上投影cosa的乘积。数量积的物理意义：力F与其作用下物体位移s的数量积Fs4、向量数量积的性质请完成下列练习，并通过观察，看看自己能否发现向量数量积的性质。（1）已知8a，e为单位向量，当它们的夹角为时3，求a在e方向上的投影及aeea、性质为：（2）已知2a，3b，a与b的交角为90，则ab性质为：（3）若1a，3b，a、b共线，则ab性质为：（4）已知3m，4n，且6mn，则m与n的夹角为性质为：性质：(1),cos是单位向量eaeeaa（2）90abab0(3)//ababab*22aaaaa特别地:或*4cosabab，（ab≠0）(5)abab//b(当且仅当a时等号成立)5、运算定律：已知向量a、b、c和实数λ，则：1.交换律：a·b=b·a2.数乘结合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）3.分配律：（a+b）·c=a·c+b·c巩固深化，发展思维判断下列各题是否正确。①若a=0，则对任一向量b，有a·b=0.()②若a0，则对任一非零向量b，有a·b0.()③若a0，a·b=0，则b=0.()④若a·b=0，则a、b至少有一个为零.()⑤若a0，a·b=a·c，则b=c()⑥对任意向量a，b，c，有(a·b)·ca·（b·c）()⑦对任意向量a，有a·a=|a|2.()应用与提高例1、（1）已知︱a︱=5,︱b︱=4,a与b的夹角θ=120°，求a·b。（2）已知︱a︱=6，︱b︱=4,a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），|a+2b|；并思考此运算过程类似于哪种实数运算？例2、对任意向量a，b是否有以下结论：（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2学习小结：（学生总结，其他学生补充）①向量的夹角、射影、向量的数量积.②向量数量积的几何意义和物理意义.③向量数量积的五条性质.④向量数量积的运算律.⑤体现了数形结合的数学思想。随堂练习：1、课本第93页1、2.2、已知2,5,3abab，则ab=，ab=.3、已知：︱a︱=2,︱b︱=3,a与b的夹角θ=120°，求（3a+b）·（a-2b）五、评价设计一、课后作业：1、课本P95习题2-5，2、4、62、拓展与提高：已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角。（本题供学有余力的同学选做）二、课后讨论平面向量数量积，是两个向量之间的一种乘法运算，它与两个实数之间的乘法运算是否一样满足交换律、分配律、结合律呢？能否给出你的结论的证明？六、教学反思：