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线性波理论1.1波浪的流体动力基本方程及边界条件实际海水河水均为有黏性流体,且水表面存在表面张力,所以流浪运动实际呈黏性流,但黏性及表面张力的影响大小,与波浪的频率有关。在船舶和海洋工程中,船舶摇摆和拍击,船舶稳定,兴波阻力;海岸工程中,波浪对港口、防波堤的作用;离岸工程中,钻井平台,海工建筑,海底油管等。水波起制约作用的物理因素是重力,粘性力可忽略不计。因此可以用理想流体的势流理论来研究波浪运动的规律。如下图所示,一间谐前进波沿x轴正向移动。h—(水深从平均水平面到底部的距离)η(x,t)—自由面在平均水面以上的瞬时垂直距离H—波高,对于小振幅波,H=2aT—周期波速C=L/T,波数k=2π/L,圆频率σ=2π/T(2π时间内的波动次数)对于线性波理论,必须遵循以下3个假设:(1)理想不可压缩流体,重力不能忽略;(2)运动是无旋的,具有速度势;’(3)波浪是线性波(微振幅波),即水深H远远小于波长L。且满足Laplace方程,△φ=𝜕2φ∂x+𝜕2φ∂x=0(0<z<η,-∞<x<+∞)底部条件(不可穿透条件)𝑣𝑧=∂φ∂z=0(z=-h)自由表面边界条件η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=η(由Lagrange积分∂φ∂t+12𝑣2+𝑝𝜌+gz=0,令z=η,自由表面上相对压力p=0,为使边界条件线性化,假定速度的平方趋向于0,而得到)。在z=0处满足(自由边界条件的近似)η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=0综合整理上述公式,可得线性波(小振幅波)的基本方程与边界条件{𝜕2φ∂x+𝜕2φ∂x=0(0<z<η,−∞<x<+∞)∂φ∂z=0(z=−h)η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=01.2线性波理论上述波浪速度势的求解存在两个困难:(1)自由表面的非线性;(2)这些条件仅在自由表面z=η上满足,η是未知量,因此只能近似求解。假定波浪振幅足够小,即波高H远远小于波长L,可得到上述方程的线性解,故称为线性波理论。由分离变量法求解,令φ=f(z)sin(kx−σt)将其带入拉普拉斯方程可得𝑑2𝑓𝑑𝑧2sin(kx-σt)−𝑘2𝑓sin(kx−σt)=0即𝑑2𝑓𝑑𝑧2−𝑘2𝑓=0根据线性其次方程解得方程的通解为f(z)=A𝑒kz+B𝑒−kz所以φ=(A𝑒kz+B𝑒−kz)sin(kx−σt)∂φ∂z=𝑘(A𝑒−kz−B𝑒kz)sin(kx−σt)∂φ∂z|𝑧=−h=𝑘(A𝑒−kh−B𝑒kh)sin(kx−σt)=0(不可穿透,即海底沿z轴方向上的波速为零)由方程的性质可知,必须A𝑒−kh−B𝑒kh=0恒成立,上式才能成立,所以A𝑒−kh=B𝑒kh令D/2=A𝑒−kh=B𝑒kh,则A=D𝑒kh/2,B=D𝑒−kh/2所以φ=D(A𝑒k(z+h)+B𝑒−k(z+h))sin(kx−σt)/2或φ=Dcoshk(z+h)sin(kx−σt)/2η=−1𝑔∂φ∂t|𝑧=0={−1𝑔Dcoshk(z+h)[−σsin(kx−σt)]}|𝑧=0波面方程为η=𝐷𝜎𝑔coshkhcos(kx−σt)令𝐷𝜎𝑔coshkh=a(a为波幅)即D=ag𝜎coshkh,则φ=ag𝜎coshkhcoshk(z+h)sin(kx−σt)所以自由面形状(波面方程)为η=acos(kx−σt)当h趋向于无穷大时,该式φ=ag𝜎coshkhcoshk(z+h)sin(kx−σt)可化为φ=ag𝜎ekzsin(kx−σt),此公式适用于无限水深的情况波速,波长,周期自由表面η(x,t)上任意一点的z方向速度分量𝑣𝑧=dηdt,即波面抬高速度近似等于z方向上的速度分量将上式与𝑣𝑧=∂φ∂z联立∂φ∂z=∂η∂t=𝜕∂t(−1𝑔∂φ∂t)=−1𝑔𝜕2φ∂t2由式φ=ag𝜎coshkhcoshk(z+h)sin(kx−σt)对t求二阶导后再乘以−1𝑔,与此同时,再对上式的z求一阶导,上述两次求导得到的结果需满足∂φ∂z=−1𝑔𝜕2φ∂t2最终求得σ2=gktanhkh,又C=L/T=2𝜋𝑘2𝜋𝜎=𝜎𝑘,所以σ=kc,将σ=kc带入式子σ2=gktanhkh,求得波速C=√𝑔L2𝜋tanh2𝜋h𝐿(该波速公式适用于各种水深)由上式,在已知L,h的前提下,可求得C;在已知T,h的前提下,可求得L下面将水波按照水深进行分类由于双曲函数有渐进值,所以按双曲函数的性质将水波进行分类,其目的是为了工程应用方便,所谓的深水波、浅水波是一种相对概念。波的类型水深htanh2𝜋h𝐿近似值近似公式深水波L/2≤h<∞1C=√𝑔L2𝜋中等水深波L/20<h<L/2tanh2𝜋h𝐿C=√𝑔L2𝜋tanh2𝜋h𝐿浅水波0<h≤L/202𝜋h𝐿C=√gh通过上述表格可以得出以下结论,深水波:波速只是波长的函数,与水深无关。浅水波:波速是水深的函数,与波长无关。中等深水波:波速是波长与水深的函数。
本文标题:线性波理论
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