第七章--第38课-等比数列

第1页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航第七章数列、推理与证明第2页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航第38课等比数列第3页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航链教材·夯基固本栏目导航研题型·技法通关第4页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航链教材·夯基固本第5页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航激活思维1.(必修5P49习题1改编)已知数列{an}为正项等比数列，a2＝9，a4＝4，那么数列{an}的通项公式an＝________.9·23n－2【解析】设等比数列{an}的公比为q，则q2＝a4a2＝49.又因为q0，所以q＝23，所以an＝9·23n－2.第6页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航2.(必修5P49习题1改编)如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，a·c＝________.－39【解析】由等比数列的性质可得ac＝(－1)×(－9)＝9，b×b＝9，且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.第7页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航3.(必修5P58练习6改编)若对于实数x，有an＝xn，则数列{an}的前n项和Sn＝__________________________.0，x＝0，n，x＝1，x1－xn1－x，x≠0且x≠1【解析】当x＝0时，Sn＝0；当x＝1时，Sn＝n；当x≠0且x≠1时，Sn＝x1－xn1－x.第8页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航4.(必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为an＝4×31－n，则数列{an}是________数列．(填“递增”或“递减”)递减第9页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航5.(必修5P67习题3改编)设{an}是等比数列，给出下列四个命题：①{a2n}是等比数列；②{anan＋1}是等比数列；③1an是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确的命题是________．(填序号)①②③【解析】④是等差数列．第10页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航知识梳理1.等比数列的定义及通项如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的都等于，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的．等比数列的通项公式：；推广：an＝amqn－m.比同一个常数an＝a1qn－1＝a1q·qn(n∈N*)公比第11页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航2.等比数列求和公式Sn＝＝3.等比数列的性质设数列{an}是等比数列，公比为q.(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则；a11－qn1－q，q≠1，na1，q＝1a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.aman＝apaq第12页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2)数列{kan}(k为非零常数)，1an，{akn}(k∈Z且为常数)也是等比数列；(3)每隔k项取出一项(k∈N*)，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列；(4)若{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍组成等比数列(各项不为0)．第13页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航研题型·技法通关第14页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航课堂导学目标1等比数列的基本量运算(2017·南京学情调研)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn.若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝________.3n－1【解析】设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，则由题意得a1q－a1q4＝－78，a11＋q＋q2＝13，两式相除得q2－q－6＝0，即q＝3或q＝－2(舍去)，从而得a1＝1，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1.第15页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【高频考点·题组强化】1.(2017·南京、盐城二模)记公比为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝1，S4－5S2＝0，则S5的值为________．31【解析】设等比数列{an}的公比为q，且q＞0，又a1＝1，则an＝qn－1.由S4－5S2＝0，得(1＋q2)S2＝5S2，所以q＝2，所以S5＝1－251－2＝31.第16页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航2.(2016·苏北四市摸底)在等比数列{an}中，若a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，则a7＝________.4【解析】方法一：设等比数列{an}的公比为q，因为a1＝1，a3a5＝4(a4－1)，所以q2·q4＝4(q3－1)，即q6－4q3＋4＝0，则q3＝2，所以a7＝q6＝4.方法二：设等比数列{an}的公比为q,由a3a5＝4(a4－1)，得a24＝4(a4－1)，即a24－4a4＋4＝0，所以a4＝2，因为a1＝1，所以q3＝2，a7＝q6＝4.第17页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航3.(2017·苏北四市期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，则公比q的值为________．2【解析】当q＝1时，显然不满足题意；当q≠1时，由S2＝2a2＋3，S3＝2a3＋3，得a1＋a2＝2a2＋3，a1＋a2＋a3＝2a3＋3，整理得a11－q＝3，a11＋q－q2＝3，解得q＝2.第18页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航目标2等比数列的性质及应用(2017·江门一模)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，那么数列{an}的前2016项之和S2016＝________.【思维引导】考虑一元二次方程根与系数的关系．22016－1【解析】由等比数列的性质可得a1a4＝a2a3＝8，又a1＋a4＝9，且数列{an}是递增的等比数列，可得a1＝1，a4＝8，即公比q＝2，则S2016＝1×1－220161－2＝22016－1.第19页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2016·常熟中学)已知等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.－12【解析】由S10S5＝3132，a1＝－1，得公比q≠1，则S10－S5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，解得q＝－12.第20页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航目标3等比数列的判定和证明已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n.(1)求数列{an}的前3项a1，a2，a3的值；(2)证明数列an＋23－1n为等比数列，并求出{an}的通项公式．【思维引导】第(1)小问中只需要分别令n＝1,2,3解方程即可；第(2)小问先根据Sn＝2an＋(－1)n得到an与an－1的关系，再根据定义得出结论，最后写出通项公式．第21页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【解答】(1)在Sn＝2an＋(－1)n中分别令n＝1,2,3，得a1＝2a1－1，a1＋a2＝2a2＋1，a1＋a2＋a3＝2a3－1，解得a1＝1，a2＝0，a3＝2，即数列{an}的前3项分别为a1＝1，a2＝0，a3＝2.(2)由Sn＝2an＋(－1)n，得Sn－1＝2an－1＋(－1)n－1，n≥2，n∈N*，两式相减得，an＝2an－1－2(－1)n，n≥2，n∈N*，所以an＝2an－1－43(－1)n－23(－1)n第22页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航＝2an－1＋43(－1)n－1－23(－1)n，即an＋23(－1)n＝2an－1＋23－1n－1(n≥2，n∈N*)，故数列an＋23－1n是以a1－23＝13为首项、公比为2的等比数列，所以an＋23(－1)n＝13×2n－1，即an＝13×2n－1－23×(－1)n.第23页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航【精要点评】判断一个数列是否为等比数列的基本方法有两种：一是定义法，证明anan－1＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明a2n＝an－1·an＋1.若要判断一个数列不是等比数列，则只要举出反例即可．要注意一个细节，需说明a1，q不为零．第24页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航目标4等比数列的求和问题已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，求{bn}的前n项和Sn.【解答】(1)设{an}的公比为q，则由a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项，得2a2＝a1＋(a3－1)＝a3，所以q＝a3a2＝2，故an＝a1qn－1＝2n－1.第25页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2)由bn＝2n－1＋an(n∈N*)得bn＝2n－1＋2n－1，则Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋[(2n－1)＋2n－1]＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝n[1＋2n－1]2＋1－2n1－2＝n2＋2n－1.第26页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2017·北京模拟)已知数列{an}是等比数列，满足a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足b2＝4，b4＝a3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前n项和Sn.第27页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航设等差数列{bn}的公差为d，因为b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d，所以12＝4＋2d，解得d＝4.【解答】(1)设等比数列{an}的公比为q，由题意，得q3＝a4a1＝243＝8，解得q＝2.所以an＝a1qn－1＝3×2n－1，所以a3＝12.所以bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4.第28页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航(2)由(1)知an＝3×2n－1，bn＝4n－4，因此cn＝an－bn＝3×2n－1－(4n－4)．从而数列{cn}的前n项和Sn＝3＋6＋…＋3×2n－1－[0＋4＋8＋…＋(4n－4)]＝3×1－2n1－2－n4n－42＝3×2n－3－n(2n－2)＝3×2n－3－2n2＋2n.第29页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航课堂评价1.(2017·镇江期末)已知数列{an}为等比数列，且a1＋1，a3＋4，a5＋7成等差数列，则公差d＝________.3【解析】设等比数列{an}的公比为q，由题意得2(a3＋4)＝a1＋1＋a5＋7⇒2a3＝a1＋a5⇒2q2＝1＋q4⇒q2＝1，即a1＝a3，d＝4－1＝3.第30页第七章数列、推理与证明高考总复习一轮复习导学案·数学文科栏目导航2.(2017·苏州、无锡、常州、镇江一调)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为